求定积分 (int )_(0)^dfrac (pi {2)}sqrt (1-sin 2x)dx的值.

步骤 1：化简被积函数
首先，我们注意到被积函数 $\sqrt{1-\sin 2x}$ 可以通过三角恒等式进行化简。我们知道 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$，因此：
$$\sqrt{1-\sin 2x} = \sqrt{1-2\sin x \cos x}$$
步骤 2：利用三角恒等式
利用三角恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，我们可以将上式进一步化简为：
$$\sqrt{1-2\sin x \cos x} = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2}$$
步骤 3：积分计算
由于 $\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|$，我们需要考虑 $\sin x - \cos x$ 的符号变化。在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上，$\sin x - \cos x$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上为负，在 $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ 上为正。因此，原积分可以拆分为两个部分：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) dx$$
步骤 4：计算两个积分
计算第一个积分：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = (\sin x + \cos x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = \sqrt{2} - 1$$
计算第二个积分：
$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) dx = (-\cos x - \sin x) \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = 1 - (-\sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}$$
步骤 5：求和
将两个积分的结果相加，得到原积分的值：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2x} dx = (\sqrt{2} - 1) + (1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$$