题目
(17)(本题满分10分)-|||-求 lim _(narrow infty )sum _(k=1)^ndfrac (k)({n)^2}ln (1+dfrac (k)(n))
题目解答
答案
解析：
解析
步骤 1：将求和式转换为积分形式
原式 $=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n}\sum _{k=1}^{n}\dfrac {k}{n}\ln (1+\dfrac {k}{n})$，注意到 $\dfrac {1}{n}$ 是积分的微分部分，$\dfrac {k}{n}$ 是积分变量，因此可以将求和式转换为积分形式。
步骤 2：计算积分
原式 $={\int }_{0}^{1}x\ln (1+x)dx$，使用分部积分法，设 $u=\ln (1+x)$，$dv=x dx$，则 $du=\dfrac {1}{1+x}dx$，$v=\dfrac {1}{2}x^2$，因此原式 $=\dfrac {1}{2}x^2\ln (1+x){|}_{0}^{1}-\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}\dfrac {x^2}{1+x}dx$。
步骤 3：计算剩余积分
剩余积分 $=\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}\dfrac {x^2}{1+x}dx$，使用多项式除法，将 $\dfrac {x^2}{1+x}$ 分解为 $x-1+\dfrac {1}{1+x}$，因此原式 $=\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}(x-1)dx+\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{1+x}dx$。
步骤 4：计算最终结果
原式 $=\dfrac {1}{2}\ln 2-\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}(x-1)dx-\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{1+x}dx$ $=\dfrac {1}{2}\ln 2-\dfrac {1}{4}{(x-1)}^{2}{|}_{0}^{1}-\dfrac {1}{2}\ln (1+x){|}_{0}^{1}$ $=\dfrac {1}{2}\ln 2-\dfrac {1}{4}-\dfrac {1}{2}\ln 2$ $=\dfrac {1}{4}$。
原式 $=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n}\sum _{k=1}^{n}\dfrac {k}{n}\ln (1+\dfrac {k}{n})$，注意到 $\dfrac {1}{n}$ 是积分的微分部分，$\dfrac {k}{n}$ 是积分变量，因此可以将求和式转换为积分形式。
步骤 2：计算积分
原式 $={\int }_{0}^{1}x\ln (1+x)dx$，使用分部积分法，设 $u=\ln (1+x)$，$dv=x dx$，则 $du=\dfrac {1}{1+x}dx$，$v=\dfrac {1}{2}x^2$，因此原式 $=\dfrac {1}{2}x^2\ln (1+x){|}_{0}^{1}-\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}\dfrac {x^2}{1+x}dx$。
步骤 3：计算剩余积分
剩余积分 $=\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}\dfrac {x^2}{1+x}dx$，使用多项式除法，将 $\dfrac {x^2}{1+x}$ 分解为 $x-1+\dfrac {1}{1+x}$，因此原式 $=\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}(x-1)dx+\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{1+x}dx$。
步骤 4：计算最终结果
原式 $=\dfrac {1}{2}\ln 2-\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}(x-1)dx-\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{1+x}dx$ $=\dfrac {1}{2}\ln 2-\dfrac {1}{4}{(x-1)}^{2}{|}_{0}^{1}-\dfrac {1}{2}\ln (1+x){|}_{0}^{1}$ $=\dfrac {1}{2}\ln 2-\dfrac {1}{4}-\dfrac {1}{2}\ln 2$ $=\dfrac {1}{4}$。