(17)(本题满分10分)-|||-求 lim _(narrow infty )sum _(k=1)^ndfrac (k)({n)^2}ln (1+dfrac (k)(n))

考查要点：本题主要考查定积分的定义及其在求和极限中的应用，以及分部积分法的灵活运用。

解题核心思路：

1. 识别求和结构：将求和式转化为定积分形式，利用$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$的结论。
2. 分部积分法：对积分$\int_0^1 x \ln(1+x) dx$进行分部积分，并通过代数变形简化计算。

破题关键点：

• 正确构造积分表达式，将求和转化为积分。
• 分部积分后对分式进行分解，将复杂积分拆分为简单积分之和。

原式可变形为：
$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} \ln\left(1+\frac{k}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$
根据定积分的定义，当$n \to \infty$时，上式等价于：
$\int_0^1 x \ln(1+x) dx$

计算积分$\int_0^1 x \ln(1+x) dx$：

1. 分部积分法：
   设$u = \ln(1+x)$，则$du = \frac{1}{1+x} dx$；设$dv = x dx$，则$v = \frac{x^2}{2}$。
   根据分部积分公式：
   $\int x \ln(1+x) dx = \frac{x^2}{2} \ln(1+x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x} dx$

2. 化简剩余积分：
   将$\frac{x^2}{1+x}$分解为多项式：
   $\frac{x^2}{1+x} = x - 1 + \frac{1}{1+x}$
   因此：
   $\int \frac{x^2}{1+x} dx = \int (x - 1) dx + \int \frac{1}{1+x} dx$

3. 逐项积分：

   • $\int (x - 1) dx = \frac{1}{2}x^2 - x$
   • $\int \frac{1}{1+x} dx = \ln(1+x)$

4. 代入上下限：
   整体积分结果为：
   $\left. \frac{x^2}{2} \ln(1+x) \right|_0^1 - \frac{1}{2} \left[ \left. \left( \frac{1}{2}x^2 - x \right) \right|_0^1 + \left. \ln(1+x) \right|_0^1 \right]$
   计算得：
   $\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \ln 2 \right) = \frac{1}{4}$