题目

函数 u=xy+yz+zx 在点 A(2,1,3) 处沿 A 指向点 B(5,5,15) 方向的方向导数为 underline( ) 。（输入分数 a/b）

函数 $u=xy+yz+zx$ 在点 $A(2,1,3)$ 处沿 $A$ 指向点 $B(5,5,15)$ 方向的方向导数为 $\underline{\quad \quad}$ 。（输入分数 $a/b$）

题目解答

答案

  1. 计算梯度向量：
    $ u = xy + yz + zx $，梯度向量 $ \nabla u = (y + z, x + z, y + x) $。
    在点 $ A(2,1,3) $ 处，$ \nabla u = (4, 5, 3) $。

  2. 确定方向向量：
    从 $ A $ 指向 $ B $ 的方向向量 $ \vec{AB} = (3, 4, 12) $，单位向量 $ \vec{e} = \left( \frac{3}{13}, \frac{4}{13}, \frac{12}{13} \right) $。

  3. 计算方向导数：
    方向导数 $ D_{\vec{e}} u = \nabla u \cdot \vec{e} = 4 \times \frac{3}{13} + 5 \times \frac{4}{13} + 3 \times \frac{12}{13} = \frac{68}{13} $。

答案：$\boxed{\frac{68}{13}}$