题目
设 A 和 B 分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则分块矩阵 } A & 0 0 & B
设 A 和 B 分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}^{-1}$ 为（）
A $\begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}$
B $\begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1} \end{pmatrix}$
C $\begin{pmatrix} B^{-1} & 0 \\ 0 & A^{-1} \end{pmatrix}$
D $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$
题目解答
答案
为了确定分块矩阵$\left(\begin{matrix}A & 0 \\ 0 & B\end{matrix}\right)$的逆矩阵，其中$A$和$B$分别是$m$阶和$n$阶可逆矩阵，我们需要找到一个矩阵，当它与给定的分块矩阵相乘时，结果是单位矩阵。
设分块矩阵为$M$：
\[ M = \left(\begin{matrix}A & 0 \\ 0 & B\end{matrix}\right) \]
我们需要找到$M^{-1}$，使得：
\[ M \cdot M^{-1} = I \]
其中$I$是$(m+n) \times (m+n)$单位矩阵。
假设$M^{-1}$的形式为：
\[ M^{-1} = \left(\begin{matrix}P & Q \\ R & S\end{matrix}\right) \]
其中$P$是$m \times m$矩阵，$Q$是$m \times n$矩阵，$R$是$n \times m$矩阵，$S$是$n \times n$矩阵。
那么，乘积$M \cdot M^{-1}$为：
\[ M \cdot M^{-1} = \left(\begin{matrix}A & 0 \\ 0 & B\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}P & Q \\ R & S\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}A \cdot P + 0 \cdot R & A \cdot Q + 0 \cdot S \\ 0 \cdot P + B \cdot R & 0 \cdot Q + B \cdot S\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}AP & AQ \\ BR & BS\end{matrix}\right) \]
为了使$M \cdot M^{-1}$等于单位矩阵$I$，我们需要：
\[ \left(\begin{matrix}AP & AQ \\ BR & BS\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}I_m & 0 \\ 0 & I_n\end{matrix}\right) \]
这给出了以下方程组：
1. $AP = I_m$
2. $AQ = 0$
3. $BR = 0$
4. $BS = I_n$
从方程1，由于$A$是可逆的，我们有$P = A^{-1}$。
从方程2，由于$A$是可逆的，我们有$Q = 0$。
从方程3，由于$B$是可逆的，我们有$R = 0$。
从方程4，由于$B$是可逆的，我们有$S = B^{-1}$。
因此，逆矩阵$M^{-1}$为：
\[ M^{-1} = \left(\begin{matrix}A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1}\end{matrix}\right) \]
所以，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]