(tan )^3xsec xdx.

考查要点：本题主要考查三角函数的积分技巧，特别是利用三角恒等式和变量代换法简化积分表达式的能力。

解题核心思路：

1. 拆分被积函数：将$\tan^3 x$拆分为$\tan^2 x \cdot \tan x$，利用三角恒等式$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$进行替换，将原积分转化为关于$\sec x$的多项式积分。
2. 变量代换：通过令$u = \sec x$，将积分简化为关于$u$的简单多项式积分，最终代回得到结果。

破题关键点：

• 识别三角恒等式的应用，将高次幂的$\tan x$转化为$\sec x$的表达式。
• 选择恰当的代换变量，简化积分形式。

步骤1：拆分被积函数
将$\tan^3 x$拆分为$\tan^2 x \cdot \tan x$，并利用$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$：
$\int \tan^3 x \sec x \, dx = \int \tan^2 x \cdot \tan x \cdot \sec x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \cdot \tan x \cdot \sec x \, dx.$

步骤2：变量代换
令$u = \sec x$，则$du = \sec x \tan x \, dx$，即$\sec x \tan x \, dx = du$。此时积分变为：
$\int (\sec^2 x - 1) \cdot \tan x \cdot \sec x \, dx = \int (u^2 - 1) \, du.$

步骤3：积分计算
对多项式$u^2 - 1$进行积分：
$\int (u^2 - 1) \, du = \frac{1}{3}u^3 - u + C.$

步骤4：代回变量
将$u = \sec x$代回，得到最终结果：
$\frac{1}{3}\sec^3 x - \sec x + C.$