题目

31. (2.0分) 已知矩阵 A=}1&1&2&k&32&3&5&5&42&2&3&1&41&0&1&1&5，且 秩r(A)=3，则常数k=1。() A 对 B 错

31. (2.0分) 已知矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&1&2&k&3\\2&3&5&5&4\\2&2&3&1&4\\1&0&1&1&5\end{pmatrix}$，且 秩$r(A)=3$，则常数k=1。() A 对 B 错

题目解答

答案

为了确定使矩阵 $ A = \begin{pmatrix}1&1&2&k&3\\2&3&5&5&4\\2&2&3&1&4\\1&0&1&1&5\end{pmatrix} $ 的秩为3的 $ k $ 的值，我们需要找到使 $ A $ 的行列式为零的 $ k $ 的值（因为 $ A $ 的秩为3，它必须有一个4x4的子式为零）。 首先，我们执行行操作来简化矩阵。我们从以下矩阵开始： \[ A = \begin{pmatrix}1&1&2&k&3\\2&3&5&5&4\\2&2&3&1&4\\1&0&1&1&5\end{pmatrix} \] 1. 从第二行减去第一行的两倍： \[ R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \] \[ \begin{pmatrix}1&1&2&k&3\\0&1&1&5-2k&-2\\2&2&3&1&4\\1&0&1&1&5\end{pmatrix} \] 2. 从第三行减去第一行的两倍： \[ R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 \] \[ \begin{pmatrix}1&1&2&k&3\\0&1&1&5-2k&-2\\0&0&-1&1-2k&-2\\1&0&1&1&5\end{pmatrix} \] 3. 从第四行减去第一行： \[ R_4 \leftarrow R_4 - R_1 \] \[ \begin{pmatrix}1&1&2&k&3\\0&1&1&5-2k&-2\\0&0&-1&1-2k&-2\\0&-1&-1&1-k&2\end{pmatrix} \] 4. 将第四行加上第二行： \[ R_4 \leftarrow R_4 + R_2 \] \[ \begin{pmatrix}1&1&2&k&3\\0&1&1&5-2k&-2\\0&0&-1&1-2k&-2\\0&0&0&6-3k&0\end{pmatrix} \] 现在，矩阵处于行阶梯形式。为了使 $ A $ 的秩为3，最后一行必须为零或与 pivot 项成比例。由于最后一行的前三个元素为零，我们需要最后一个元素 $ 6 - 3k $ 为零： \[ 6 - 3k = 0 \] \[ 3k = 6 \] \[ k = 2 \] 因此，使矩阵 $ A $ 的秩为3的 $ k $ 的值是 $ k = 2 $。因此，陈述 $ k = 1 $ 是错误的。 答案是：\boxed{B}

解析

本题考查矩阵的秩以及行列式的计算。解题思路是通过对矩阵进行行变换，将矩阵化为行阶梯形式，然后根据矩阵的秩为3的条件，确定使矩阵的行列式为零的常数k的值。

下面进行详细的计算：

  1. 从第二行减去第一行的两倍：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & k & 3 \\2 - 2\times1 & 3 - 2\times1 & 5 - 2\times2 & 5 - 2\times k & 4 - 2\times3 \\2 & 2 & 3 & 1 & 4 \\1 & 0 & 1 & 1 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & k & 3 \\0 & 1 & 1 & 5 - 2k & -2 \\2 & 2 & 3 & 1 & 4 \\1 & 0 & 1 & 1 & 5\end{pmatrix}$
  2. 从第三行减去第一行的两倍：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & k & 3 \\0 & 1 & 1 & 5 - 2k & -2 \\2 - 2\times1 & 2 - 2\times1 & 3 - 2\times2 & 1 - 2\times k & 4 - 2\times3 \\1 & 0 & 1 & 1 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & k & 3 \\0 & 1 & 1 & 5 - 2k & -2 \\0 & 0 & -1 & 1 - 2k & -2 \\1 & 0 & 1 & 1 & 5\end{pmatrix}$
  3. 从第四行减去第一行：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & k & 3 \\0 & 1 & 1 & 5 - 2k & -2 \\0 & 0 & -1 & 1 - 2k & -2 \\1 - 1 & 0 - 1 & 1 - 2 & 1 - k & 5 - 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & k & 3 \\0 & 1 & 1 & 5 - 2k & -2 \\0 & 0 & -1 & 1 - 2k & -2 \\0 & -1 & -1 & 1 - k & 2\end{pmatrix}$
  4. 将第四行加上第二行：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & k & 3 \\0 & 1 & 1 & 5 - 2k & -2 \\0 & 0 & -1 & 1 - 2k & -2 \\0 & 0 & 0 & 6 - 3k & 0\end{pmatrix}$
    现在矩阵处于行阶梯形式。为了使矩阵的秩为3，最后一行必须为零或与pivot项成比例。由于最后一行的前三个元素为零，我们需要最后一个元素$6 - 3k$为零：
    $6 - 3k = 0$
    $3k = 6$
    $k = 2$
    因此，使矩阵的秩为3的$k$的值为$k = 2$。所以陈述$k = 1$是错误的。