y=x^3+3 ax^2+3 bx+c在点x=-1处取得极大值,点(0,3)是拐点,则()}. A. a=-1,b=0,c=3B. a=0,b=-1,c=3C. a=3,b=-1,c=0D. 以上答案均不正确

考查要点：本题主要考查函数的极值与拐点的判定条件，以及利用导数求解函数参数的能力。

解题核心思路：

1. 拐点条件：拐点处二阶导数为零，且函数值已知，可直接求出常数项。
2. 极值条件：极值点处一阶导数为零，且二阶导数小于零（极大值）。
3. 联立方程：通过上述条件建立方程组，解出未知参数。

破题关键点：

• 拐点条件直接确定常数项$c$。
• 二阶导数在拐点处为零确定参数$a$。
• 极值点处的一阶导数为零确定参数$b$。
• 验证二阶导数在极值点的符号，确保条件成立。

步骤1：利用拐点条件求$c$

拐点$(0,3)$在函数图像上，代入$x=0$，$y=3$：
$y(0) = 0^3 + 3a \cdot 0^2 + 3b \cdot 0 + c = c = 3 \implies c = 3.$

步骤2：利用拐点处二阶导数为零求$a$

函数二阶导数为：
$y'' = 6x + 6a.$
拐点$x=0$处二阶导数为零：
$y''(0) = 6 \cdot 0 + 6a = 6a = 0 \implies a = 0.$

步骤3：利用极值点处一阶导数为零求$b$

函数一阶导数为：
$y' = 3x^2 + 6a x + 3b.$
代入$a=0$和极值点$x=-1$：
$y'(-1) = 3(-1)^2 + 6 \cdot 0 \cdot (-1) + 3b = 3 + 3b = 0 \implies b = -1.$

步骤4：验证二阶导数在极值点的符号

代入$a=0$，二阶导数为：
$y'' = 6x.$
在$x=-1$处：
$y''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0,$
满足极大值条件。