设A、B为n的阶方阵，X=(x_1,x_2,...,x_n)^T，并且X^TAX=X^TBX则A=B的充分必要条件是：A. R(A)=R(B)B. A是对称矩阵C. B是对称矩阵D. A和B是对称矩阵

考查要点：本题主要考查二次型矩阵的唯一性及对称矩阵的性质，需要理解二次型与对称矩阵之间的关系，以及矩阵相等的充要条件。

解题核心思路：
当且仅当两个矩阵均为对称矩阵时，二次型表达式相等才能推出矩阵本身相等。若矩阵非对称，则二次型的值仅由其对称部分决定，此时即使矩阵不同，二次型也可能相等。

破题关键点：

1. 二次型的唯一性：二次型对应的矩阵必须是对称的，且对称矩阵唯一确定二次型。
2. 非对称矩阵的分解：任何矩阵均可分解为对称部分和反对称部分，但反对称部分对二次型无贡献。
3. 充要条件的双向验证：需保证等式成立时矩阵必须相等，且矩阵相等时等式必然成立。

步骤1：二次型的对称性分析

对于任意向量$X$，二次型$X^TAX$的值仅由$A$的对称部分$\frac{A + A^T}{2}$决定，因为：
$X^TAX = X^T\left(\frac{A + A^T}{2}\right)X.$
同理，$X^T B X$仅由$B$的对称部分$\frac{B + B^T}{2}$决定。

步骤2：等式成立的条件

若$X^TAX = X^T B X$对所有$X$成立，则必有：
$\frac{A + A^T}{2} = \frac{B + B^T}{2}.$
即$A$与$B$的对称部分相等。

步骤3：充要条件的推导

• 必要性：若$A = B$，则显然$A$和$B$的对称部分相等，且若$A$和$B$本身是对称的，则等式成立。
• 充分性：若$A$和$B$均为对称矩阵，则$\frac{A + A^T}{2} = A$，$\frac{B + B^T}{2} = B$，此时等式$\frac{A + A^T}{2} = \frac{B + B^T}{2}$等价于$A = B$。
• 反例验证：若$A$或$B$非对称，则可能存在$A \neq B$但对称部分相等的情况，导致等式成立但矩阵不等，因此必须两者均为对称矩阵。