题目
将下面的曲线积分化第一类曲线积分并计算,则-|||-[ 2xf(x,1)dx+[ y-f(x,1)] dy=(int )_(2)^2dfrac (2xy)(sqrt {1+4{x)^2}}dy=(int )_(0)^12(x)^3dx=dfrac (1)(2) dx=1/2-|||-其中f(x,y)为连续函数,L是沿抛物线 =(x)^2 从点(0,0)到点(1,1)的一段弧。-|||-A 对-|||-B 错
题目解答
答案
解析
步骤 1：将曲线积分化为第一类曲线积分
给定的曲线积分是 ${\int }_{L}2xf(x,y)dx+(y-f(x,y))dy$，其中 $L$ 是沿抛物线 $y={x}^{2}$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧。为了将曲线积分化为第一类曲线积分，我们需要将 $y$ 用 $x$ 表示，即 $y={x}^{2}$，并计算 $ds$。由于 $ds=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$，而 $\frac{dy}{dx}=2x$，因此 $ds=\sqrt{1+(2x)^2}dx=\sqrt{1+4x^2}dx$。
步骤 2：代入并化简
将 $y={x}^{2}$ 和 $ds=\sqrt{1+4x^2}dx$ 代入原曲线积分中，得到 ${\int }_{0}^{1}2xf(x,x^2)dx+(x^2-f(x,x^2))2xdx$。由于 $f(x,y)$ 是连续函数，我们可以将 $f(x,x^2)$ 简记为 $f(x)$，则原积分变为 ${\int }_{0}^{1}2xf(x)dx+(x^2-f(x))2xdx$。
步骤 3：计算积分
将上式化简为 ${\int }_{0}^{1}2xf(x)dx+2x^3dx-2xf(x)dx$，即 ${\int }_{0}^{1}2x^3dx$。计算该积分，得到 ${\int }_{0}^{1}2x^3dx=\dfrac{1}{2}x^4|_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}$。
给定的曲线积分是 ${\int }_{L}2xf(x,y)dx+(y-f(x,y))dy$，其中 $L$ 是沿抛物线 $y={x}^{2}$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧。为了将曲线积分化为第一类曲线积分，我们需要将 $y$ 用 $x$ 表示，即 $y={x}^{2}$，并计算 $ds$。由于 $ds=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$，而 $\frac{dy}{dx}=2x$，因此 $ds=\sqrt{1+(2x)^2}dx=\sqrt{1+4x^2}dx$。
步骤 2：代入并化简
将 $y={x}^{2}$ 和 $ds=\sqrt{1+4x^2}dx$ 代入原曲线积分中，得到 ${\int }_{0}^{1}2xf(x,x^2)dx+(x^2-f(x,x^2))2xdx$。由于 $f(x,y)$ 是连续函数，我们可以将 $f(x,x^2)$ 简记为 $f(x)$，则原积分变为 ${\int }_{0}^{1}2xf(x)dx+(x^2-f(x))2xdx$。
步骤 3：计算积分
将上式化简为 ${\int }_{0}^{1}2xf(x)dx+2x^3dx-2xf(x)dx$，即 ${\int }_{0}^{1}2x^3dx$。计算该积分，得到 ${\int }_{0}^{1}2x^3dx=\dfrac{1}{2}x^4|_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}$。