题目
11. (25.0分) 求微分方程(3+x^2)y^prime=2xe^-y的通解.
11. (25.0分)
求微分方程$(3+x^{2})y^{\prime}=2xe^{-y}$的通解.
题目解答
答案
为了求解微分方程 $(3+x^2)y' = 2xe^{-y}$ 的通解，我们首先将方程改写为可分离变量的形式。注意到 $y'$ 可以表示为 $\frac{dy}{dx}$，所以方程变为：
\[
(3+x^2) \frac{dy}{dx} = 2xe^{-y}
\]
接下来，我们将 $y$ 和 $x$ 的项分别移到方程的两边：
\[
e^y dy = \frac{2x}{3+x^2} dx
\]
现在，我们对两边分别进行积分。左边的积分是：
\[
\int e^y dy = e^y + C_1
\]
右边的积分需要使用换元法。令 $u = 3 + x^2$，则 $du = 2x dx$。代入积分，我们得到：
\[
\int \frac{2x}{3+x^2} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C_2 = \ln|3+x^2| + C_2
\]
由于 $3 + x^2$ 总是正的，我们可以去掉绝对值符号：
\[
\ln(3+x^2) + C_2
\]
现在，将两边的积分结果相等，我们有：
\[
e^y + C_1 = \ln(3+x^2) + C_2
\]
将常数 $C_1$ 和 $C_2$ 合并为一个常数 $C$，得到：
\[
e^y = \ln(3+x^2) + C
\]
这就是微分方程的通解。为了表达更规范，我们可以写成：
\[
\boxed{e^y = \ln(3+x^2) + C}
\]
解析
考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，需要将方程中的变量分离后分别积分。
解题核心思路：
- 变量分离：将方程改写为$e^y dy$与$\frac{2x}{3+x^2} dx$的形式，使变量$y$和$x$分别位于等式两边。
- 积分求解：对两边分别积分，注意积分常数的处理。
- 整理通解：将积分结果联立，合并常数项，得到通解。
破题关键点：
- 识别方程类型：通过观察方程结构，判断为可分离变量方程。
- 正确分离变量：通过移项将$y$与$x$的项分开。
- 换元积分法：对右侧积分使用换元法简化计算。
步骤1：变量分离
原方程：
$(3+x^2)y' = 2x e^{-y}$
将$y'$改写为$\frac{dy}{dx}$，并整理得：
$e^y dy = \frac{2x}{3+x^2} dx$
步骤2：积分求解
- 左侧积分：
$\int e^y dy = e^y + C_1$ - 右侧积分：
令$u = 3 + x^2$，则$du = 2x dx$，代入得：
$\int \frac{2x}{3+x^2} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C_2 = \ln(3+x^2) + C_2$
步骤3：联立积分结果
将两边积分结果联立：
$e^y + C_1 = \ln(3+x^2) + C_2$
合并常数项$C = C_2 - C_1$，得通解：
$e^y = \ln(3+x^2) + C$