设函数 f(x) 对任意 x 均满足等式 f(1+x)=af(x), 且有 f′(0)=b, 其中 a,b 为非零常数 , 则（ ） A. f(x) 在 x=1 处不可导 B. f(x) 在 x=1 处可导 , 且 f′(1)=a C. f(x) 在 x=1 处可导 , 且 f′(1)=b D. f(x) 在 x=1 处可导 , 且 f′(1)=ab

考查要点：本题主要考查函数在某点处的可导性及导数计算，涉及函数方程与导数定义的结合应用。

解题核心思路：

1. 利用函数方程：题目给出的等式$f(1+x)=af(x)$对任意$x$成立，需通过变量替换将$f(1)$或$f(1+h)$表达为$f(0)$或$f(h)$的形式。
2. 导数定义：分别计算$x=1$处的左、右导数，验证是否存在且相等。
3. 关键点：将$f(1+h)$和$f(1)$用函数方程展开，结合已知条件$f'(0)=b$，推导出$f'(1)$的值。

步骤1：计算右导数$f'_+(1)$

根据导数定义：
$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$
由函数方程$f(1+x)=af(x)$，当$x=0$时，$f(1)=af(0)$；当$x=h$时，$f(1+h)=af(h)$。代入得：
$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{af(h) - af(0)}{h} = a \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = a f'_+(0)$
由于$f'(0)=b$，说明$f'_+(0)=b$，因此：
$f'_+(1) = a \cdot b$

步骤2：计算左导数$f'_-(1)$

根据导数定义：
$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$
令$h = -k$（$k \to 0^+$），则$1+h = 1 - k$，由函数方程$f(1 - k) = af(-k)$，代入得：
$f'_-(1) = \lim_{k \to 0^+} \frac{af(-k) - af(0)}{-k} = a \lim_{k \to 0^+} \frac{f(-k) - f(0)}{-k} = a f'_-(0)$
同样，$f'_-(0)=b$，因此：
$f'_-(1) = a \cdot b$

步骤3：判断可导性

由于$f'_+(1) = f'_-(1) = ab$，说明$f(x)$在$x=1$处可导，且$f'(1)=ab$。