题目

设函数 f(x) 对任意 x 均满足等式 f(1+x)=af(x), 且有 f′(0)=b, 其中 a,b 为非零常数 , 则（ ） A. f(x) 在 x=1 处不可导 B. f(x) 在 x=1 处可导 , 且 f′(1)=a C. f(x) 在 x=1 处可导 , 且 f′(1)=b D. f(x) 在 x=1 处可导 , 且 f′(1)=ab

设函数 f(x) 对任意 x 均满足等式 f(1+x)=af(x), 且有 f′(0)=b, 其中 a,b 为非零常数 , 则（ ）


A. f(x) 在 x=1 处不可导
B. f(x) 在 x=1 处可导 , 且 f′(1)=a
C. f(x) 在 x=1 处可导 , 且 f′(1)=b
D. f(x) 在 x=1 处可导 , 且 f′(1)=ab

题目解答

答案

函数 f(x) 对任意 x 均满足等式 f(1+x)=af(x), 且有 f′(0)=b ，其中 a ， b 为非零常数，则

f′+(1)=limx→0+f(1+x)−f(1)x=limx→0+af(x)−af(0)x=af′+(0)=af′(0)=ab，

f′−(1)=limx→0−f(1+x)−f(1)x=limx→0−af(x)−af(0)x=af′−(0)=af′(0)=ab，

所以 ,f′+(1)=f′−(1)=ab

所以 ,f(x) 在 x=1 处可导 , 且 f′(1)=ab

故选：D.

解析

步骤 1：定义导数
函数 f(x) 在 x=1 处的导数定义为 f′(1) = lim_{x→0} [f(1+x) - f(1)] / x。
步骤 2：利用给定条件
根据题目条件，f(1+x) = af(x)，所以 f(1) = af(0)。
步骤 3：计算导数
f′(1) = lim_{x→0} [af(x) - af(0)] / x = a lim_{x→0} [f(x) - f(0)] / x = af′(0) = ab。