[题目]设平面区域D由曲线 =dfrac (1)(x) 及直线 y=0, x=1-|||-=(e)^2 所围成,二维随机变量(x,y)在区域D上服从-|||-均匀分布,则(x,y)关于x的边缘概率密度在 x=2 处-|||-的值为 __

考查要点：本题主要考查二维均匀分布的边缘概率密度的计算，涉及区域面积的计算和积分求解。

解题核心思路：

1. 确定区域D的面积：通过积分计算由曲线$y=\dfrac{1}{x}$、直线$y=0$、$x=1$和$x=e^2$围成的区域面积。
2. 求联合概率密度函数：均匀分布的联合密度函数为区域面积的倒数。
3. 求边缘概率密度：对联合密度函数在$y$方向积分，得到关于$x$的边缘密度函数。
4. 代入$x=2$求值：验证$x=2$是否在定义域内，代入计算结果。

破题关键点：

• 区域面积的正确计算：积分$\int_{1}^{e^2} \dfrac{1}{x} dx$。
• 积分上下限的确定：对每个$x$，$y$的范围是$0 \leq y \leq \dfrac{1}{x}$。
• 边缘密度函数的有效区间：$x$必须在$[1, e^2]$范围内。

步骤1：计算区域D的面积

区域D由$x=1$到$x=e^2$，$y=0$到$y=\dfrac{1}{x}$围成，面积为：
$\text{面积} = \int_{1}^{e^2} \dfrac{1}{x} dx = \ln x \Big|_{1}^{e^2} = 2 - 0 = 2.$

步骤2：确定联合概率密度函数

均匀分布的联合密度函数为：
$f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{1}{2}, & (x,y) \in D, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

步骤3：求关于$x$的边缘概率密度

对$y$积分：
$f_X(x) = \int_{0}^{\dfrac{1}{x}} \dfrac{1}{2} dy = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2x}, \quad 1 \leq x \leq e^2.$

步骤4：代入$x=2$求值

由于$2 \in [1, e^2]$，代入得：
$f_X(2) = \dfrac{1}{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{4}.$