设四阶行列式 D 的第三行元素分别为 -1, 0, 2, 4，第四行元素对应的余子式的值依次是 2, 10, a, 4，则 a= ( ).A. 1B. -7C. 7D. 9

我们已知一个四阶行列式 $ D $，其第三行的元素分别是：

$-1, \ 0, \ 2, \ 4$

即：
设行列式为 $ D $，则第3行是：
$a_{31} = -1, \quad a_{32} = 0, \quad a_{33} = 2, \quad a_{34} = 4$

又已知第四行元素对应的余子式的值依次是：
$M_{41} = 2, \quad M_{42} = 10, \quad M_{43} = a, \quad M_{44} = 4$

注意：这里是余子式（Minor），不是代数余子式（Algebraic Minor / Cofactor）。

关键知识点回顾：

对于行列式 $ D $，按第 $ i $ 行展开：

$D = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot A_{ij}$

其中 $ A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式，$ M_{ij} $ 是余子式。

但本题中，我们没有直接给出 $ D $ 的值，而是给出了第三行元素和第四行元素的余子式。

我们考虑一个重要的性质：行列式中，某一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为0。

即：不同行的元素与代数余子式的乘积之和为0。

> 也就是说，若用第 $ i $ 行的元素去乘第 $ j $ 行的代数余子式（$ i \ne j $），则和为0。

这个性质来源于行列式的展开性质：当把某一行换成另一行时，行列式有两行相同，值为0。

应用这个性质：

我们现在用第三行的元素，去乘第四行对应列的代数余子式，其乘积之和应为0：

$\sum_{j=1}^4 a_{3j} \cdot A_{4j} = 0$

其中 $ a_{3j} $ 是第三行元素，$ A_{4j} $ 是第四行第 $ j $ 列元素的代数余子式。

而代数余子式与余子式的关系是：

$A_{4j} = (-1)^{4+j} M_{4j}$

我们逐项计算：

• $ j=1 $: $ A_{41} = (-1)^{4+1} M_{41} = (-1)^5 \cdot 2 = -2 $
• $ j=2 $: $ A_{42} = (-1)^{6} \cdot 10 = 1 \cdot 10 = 10 $
• $ j=3 $: $ A_{43} = (-1)^{7} \cdot a = -a $
• $ j=4 $: $ A_{44} = (-1)^{8} \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4 $

第三行元素：$ a_{31} = -1, a_{32} = 0, a_{33} = 2, a_{34} = 4 $

计算乘积和：

$a_{31} A_{41} + a_{32} A_{42} + a_{33} A_{43} + a_{34} A_{44} = (-1)(-2) + (0)(10) + (2)(-a) + (4)(4) = 2 + 0 - 2a + 16 = 18 - 2a$

根据“不同行元素与代数余子式乘积和为0”的性质：

$18 - 2a = 0 \Rightarrow 2a = 18 \Rightarrow a = 9$

答案：

$\boxed{D. \ 9}$

✅ 最终答案：$ \boxed{9} $