例1 指出下列函数在零点 z=0 的阶:-|||-(2) sin (z)^3+(z)^3((z)^6-6) .

步骤 1：展开 $\sin {z}^{3}$
根据泰勒展开式，$\sin {z}^{3}$ 可以展开为：
$$
\sin {z}^{3} = {z}^{3} - \frac{1}{3!}{z}^{9} + \frac{1}{5!}{z}^{15} - \cdots + (-1)^{n}\frac{{z}^{6n+3}}{(2n+1)!} + \cdots
$$
步骤 2：代入展开式
将 $\sin {z}^{3}$ 的展开式代入原函数 $6\sin {z}^{3}+{z}^{3}({z}^{6}-6)$ 中，得到：
$$
6\sin {z}^{3}+{z}^{3}({z}^{6}-6) = 6\left[{z}^{3} - \frac{1}{3!}{z}^{9} + \frac{1}{5!}{z}^{15} - \cdots + (-1)^{n}\frac{{z}^{6n+3}}{(2n+1)!} + \cdots\right] + {z}^{3}({z}^{6}-6)
$$
步骤 3：化简
化简上述表达式，得到：
$$
6\sin {z}^{3}+{z}^{3}({z}^{6}-6) = 6{z}^{3} - \frac{6}{3!}{z}^{9} + \frac{6}{5!}{z}^{15} - \cdots + 6(-1)^{n}\frac{{z}^{6n+3}}{(2n+1)!} + \cdots + {z}^{9} - 6{z}^{3}
$$
$$
= {z}^{15}\left[\frac{6}{5!} - \frac{6}{7!}{z}^{6} + \cdots + 6(-1)^{n}\frac{{z}^{6n-12}}{(2n+1)!} + \cdots\right]
$$
步骤 4：确定零点阶数
由于 ${z}^{15}$ 是函数 $6\sin {z}^{3}+{z}^{3}({z}^{6}-6)$ 的最低次幂项，且系数不为零，因此 z=0 是函数的15阶零点。