题目

【6】求下列极限(1)lim_(xto0)(x^4[(1+x)^x-1])/((sqrt[5](cos x)-1)^3)(2)lim_(xto0^+)(sqrt(x)-sqrt(ln(1+x)))/(sqrt(x)-sin x)

【6】求下列极限 (1)$\lim_{x\to0}\frac{x^{4}\left[\left(1+x\right)^{x}-1\right]}{\left(\sqrt[5]{\cos x}-1\right)^{3}}$(2)$\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{\ln\left(1+x\right)}}{\sqrt{x}-\sin x}$

题目解答

答案

为了求解给定的极限，我们将使用级数展开和洛必达法则等方法。让我们从第一个极限开始。 ### 极限 (1) \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^4 \left[ (1+x)^x - 1 \right]}{\left( \sqrt[5]{\cos x} - 1 \right)^3} \] #### 步骤 1: 展开 $(1+x)^x$ 使用指数函数的级数展开，我们有： \[ (1+x)^x = e^{x \ln(1+x)} \] 对于小的 $x$，$\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$。因此， \[ x \ln(1+x) \approx x \left( x - \frac{x^2}{2} \right) = x^2 - \frac{x^3}{2} \] 所以， \[ (1+x)^x \approx e^{x^2 - \frac{x^3}{2}} \approx 1 + \left( x^2 - \frac{x^3}{2} \right) + O(x^4) = 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4) \] 因此， \[ (1+x)^x - 1 \approx x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4) \] #### 步骤 2: 展开 $\sqrt[5]{\cos x} - 1$ 对于小的 $x$，$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$。使用二项式展开，我们有： \[ \sqrt[5]{\cos x} \approx \sqrt[5]{1 - \frac{x^2}{2}} \approx 1 - \frac{1}{5} \cdot \frac{x^2}{2} + O(x^4) = 1 - \frac{x^2}{10} + O(x^4) \] 所以， \[ \sqrt[5]{\cos x} - 1 \approx -\frac{x^2}{10} + O(x^4) \] #### 步骤 3: 将展开式代入极限现在，将展开式代入原极限，我们得到： \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^4 \left( x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4) \right)}{\left( -\frac{x^2}{10} + O(x^4) \right)^3} \approx \lim_{x \to 0} \frac{x^4 \cdot x^2}{\left( -\frac{x^2}{10} \right)^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x^6}{-\frac{x^6}{1000}} = \lim_{x \to 0} -1000 = -1000 \] 因此，第一个极限是： \[ \boxed{-1000} \] ### 极限 (2) \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{\ln(1+x)}}{\sqrt{x} - \sin x} \] #### 步骤 1: 展开 $\ln(1+x)$ 和 $\sin x$ 对于小的 $x$，$\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$ 和 $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$。因此， \[ \sqrt{\ln(1+x)} \approx \sqrt{x - \frac{x^2}{2}} \approx \sqrt{x} \left( 1 - \frac{x}{2} \right)^{1/2} \approx \sqrt{x} \left( 1 - \frac{x}{4} \right) = \sqrt{x} - \frac{x^{3/2}}{4} + O(x^{5/2}) \] 所以， \[ \sqrt{x} - \sqrt{\ln(1+x)} \approx \sqrt{x} - \left( \sqrt{x} - \frac{x^{3/2}}{4} \right) = \frac{x^{3/2}}{4} + O(x^{5/2}) \] 并且， \[ \sqrt{x} - \sin x \approx \sqrt{x} - \left( x - \frac{x^3}{6} \right) = \sqrt{x} - x + \frac{x^3}{6} \approx \sqrt{x} - x \] 因为 $x$ 比 $\sqrt{x}$ 高阶，对于小的 $x$，$\sqrt{x} - x \approx \sqrt{x}$。 #### 步骤 2: 将展开式代入极限现在，将展开式代入原极限，我们得到： \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^{3/2}}{4} + O(x^{5/2})}{\sqrt{x} - x} \approx \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^{3/2}}{4}}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{3/2}}{4\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{4} = 0 \] 因此，第二个极限是： \[ \boxed{0} \]

解析

考查要点：
本题主要考查泰勒展开法和等价无穷小替换在求解复杂极限中的应用，需要灵活处理分子分母的高阶小项。

解题思路：

第一题：分子和分母均为$0/0$型不定式，需展开$(1+x)^x$和$\sqrt[5]{\cos x}$到足够阶数，比较主部后化简。
第二题：分子分母均为$\sqrt{x}$的高阶无穷小，需展开$\ln(1+x)$和$\sin x$，通过比较分子分母的主部确定极限值。

第（1）题

展开$(1+x)^x$

将$(1+x)^x$写成指数形式：
$(1+x)^x = e^{x \ln(1+x)}.$
展开$\ln(1+x)$到$x^2$项：
$\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2}.$
代入得：
$x \ln(1+x) \approx x^2 - \frac{x^3}{2}.$
进一步展开指数函数：
$(1+x)^x \approx 1 + x^2 - \frac{x^3}{2}.$
因此：
$(1+x)^x - 1 \approx x^2 - \frac{x^3}{2}.$

展开$\sqrt[5]{\cos x}$

展开$\cos x$到$x^2$项：
$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}.$
用二项式展开$\sqrt[5]{1 - \frac{x^2}{2}}$：
$\sqrt[5]{\cos x} \approx 1 - \frac{1}{5} \cdot \frac{x^2}{2} = 1 - \frac{x^2}{10}.$
因此：
$\sqrt[5]{\cos x} - 1 \approx -\frac{x^2}{10}.$

代入化简

原式化简为：
$\frac{x^4 \left( x^2 - \frac{x^3}{2} \right)}{\left( -\frac{x^2}{10} \right)^3} = \frac{x^6}{ -\frac{x^6}{1000} } = -1000.$

第（2）题

展开$\ln(1+x)$和$\sin x$

展开$\ln(1+x)$到$x^2$项：
$\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2}.$
展开$\sqrt{\ln(1+x)}$：
$\sqrt{\ln(1+x)} \approx \sqrt{x - \frac{x^2}{2}} \approx \sqrt{x} \left( 1 - \frac{x}{4} \right) = \sqrt{x} - \frac{x^{3/2}}{4}.$
因此：
$\sqrt{x} - \sqrt{\ln(1+x)} \approx \frac{x^{3/2}}{4}.$

展开$\sin x$到$x^3$项：
$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}.$
因此：
$\sqrt{x} - \sin x \approx \sqrt{x} - x.$
当$x \to 0^+$时，$\sqrt{x}$比$x$高阶，故分母近似为$\sqrt{x}$。

代入化简

原式化简为：
$\frac{\frac{x^{3/2}}{4}}{\sqrt{x}} = \frac{x}{4} \to 0.$