判断函数(x)=ln (x+sqrt (1+{x)^2})的奇偶性。

考查要点：判断函数的奇偶性，需要掌握奇函数和偶函数的定义，并能通过代数变形验证函数满足的条件。

解题核心思路：

1. 代入验证法：计算$f(-x)$，将其与$f(x)$比较，判断是否满足$f(-x) = -f(x)$（奇函数）或$f(-x) = f(x)$（偶函数）。
2. 代数变形技巧：对表达式$-x + \sqrt{1+x^2}$进行有理化处理，利用平方差公式简化表达式，结合对数的运算性质得出结论。

破题关键点：

• 发现代数恒等式：通过乘以共轭表达式，证明$-x + \sqrt{1+x^2} = \dfrac{1}{x + \sqrt{1+x^2}}$，从而将$f(-x)$转化为$-f(x)$。

步骤1：计算$f(-x)$
将$-x$代入函数表达式：
$f(-x) = \ln(-x + \sqrt{1 + (-x)^2}) = \ln(-x + \sqrt{1 + x^2}).$

步骤2：有理化表达式
对$-x + \sqrt{1 + x^2}$进行有理化处理，分子分母同乘以$x + \sqrt{1 + x^2}$：
$\begin{aligned}-x + \sqrt{1 + x^2} &= \dfrac{(-x + \sqrt{1 + x^2})(x + \sqrt{1 + x^2})}{x + \sqrt{1 + x^2}} \\&= \dfrac{(\sqrt{1 + x^2})^2 - x^2}{x + \sqrt{1 + x^2}} \\&= \dfrac{1 + x^2 - x^2}{x + \sqrt{1 + x^2}} \\&= \dfrac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}}.\end{aligned}$

步骤3：代入对数表达式
将有理化结果代入$f(-x)$：
$f(-x) = \ln\left(\dfrac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}}\right).$

步骤4：利用对数性质化简
根据$\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$，得：
$f(-x) = -\ln(x + \sqrt{1 + x^2}) = -f(x).$

结论：
$f(-x) = -f(x)$，因此$f(x)$是奇函数。