题目

判断函数(x)=ln (x+sqrt (1+{x)^2})的奇偶性。

判断函数 $f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ 的奇偶性。

题目解答

答案

因为 $-x+\sqrt{1+\left(-x\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}{x+\sqrt{1+\left(-x\right)^2}}$

$=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}$ ，所以 $f(-x)=\ln\left(-x+\sqrt{1+\left(-x\right)^2}\right)$

$=\ln\left(\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\right)=-\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$

$=-f\left(x\right)$ ,即 $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ 。那么，函数 $f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ 是奇函数。

综上，本题答案为奇函数。

解析

步骤 1：定义奇偶性
奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，偶函数满足$f(-x)=f(x)$。
步骤 2：计算$f(-x)$
$f(-x)=\ln (-x+\sqrt {1+{(-x)}^{2}})$
步骤 3：化简$f(-x)$
$-x+\sqrt {1+{(-x)}^{2}}=\dfrac {(\sqrt {1+{x}^{2}}-x)(\sqrt {1+{x}^{2}}+x)}{x+\sqrt {1+{x}^{2}}}$
$=\dfrac {1}{x+\sqrt {1+{x}^{2}}}$
步骤 4：将$f(-x)$与$f(x)$比较
$f(-x)=\ln (\dfrac {1}{x+\sqrt {1+{x}^{2}}})=-\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$
$=-f(x)$