题目
设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式 ①PA=B． ②P-1ABP=BA． ③P-1AP=B． ④PTA2P=B2． 成立的个数是 ( )． A．1．B．2．C．3．D．4．
设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式 ①PA=
B． ②P-1ABP=B
A． ③P-1AP=B． ④PTA2P=B
2． 成立的个数是 ( )． A．
1．B．2．
C．
3．
D．
4．
B． ②P-1ABP=B
A． ③P-1AP=B． ④PTA2P=B
2． 成立的个数是 ( )． A．
1．B．2．
C．
3．
D．
4．
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：理解题意
题目要求我们找出在给定条件下，哪些关系式成立。给定条件是A和B是n阶实对称可逆矩阵，且存在n阶可逆阵P。
步骤 2：分析关系式
① PA = B
② P^{-1}ABP = BA
③ P^{-1}AP = B
④ P^T A^2 P = B^2
步骤 3：验证关系式
- 对于①，PA = B，这表示矩阵A和B通过可逆矩阵P进行变换，但没有直接的理论支持这个关系式一定成立。
- 对于②，P^{-1}ABP = BA，这个关系式表示A和B通过P进行相似变换，但没有直接的理论支持这个关系式一定成立。
- 对于③，P^{-1}AP = B，这个关系式表示A和B是相似矩阵，因为A和B都是实对称矩阵，所以它们可以对角化，且存在可逆矩阵P使得P^{-1}AP = B。
- 对于④，P^T A^2 P = B^2，这个关系式表示A^2和B^2通过P进行相似变换，因为A和B是实对称矩阵，所以A^2和B^2也是实对称矩阵，且存在可逆矩阵P使得P^T A^2 P = B^2。
题目要求我们找出在给定条件下，哪些关系式成立。给定条件是A和B是n阶实对称可逆矩阵，且存在n阶可逆阵P。
步骤 2：分析关系式
① PA = B
② P^{-1}ABP = BA
③ P^{-1}AP = B
④ P^T A^2 P = B^2
步骤 3：验证关系式
- 对于①，PA = B，这表示矩阵A和B通过可逆矩阵P进行变换，但没有直接的理论支持这个关系式一定成立。
- 对于②，P^{-1}ABP = BA，这个关系式表示A和B通过P进行相似变换，但没有直接的理论支持这个关系式一定成立。
- 对于③，P^{-1}AP = B，这个关系式表示A和B是相似矩阵，因为A和B都是实对称矩阵，所以它们可以对角化，且存在可逆矩阵P使得P^{-1}AP = B。
- 对于④，P^T A^2 P = B^2，这个关系式表示A^2和B^2通过P进行相似变换，因为A和B是实对称矩阵，所以A^2和B^2也是实对称矩阵，且存在可逆矩阵P使得P^T A^2 P = B^2。