32、设函数f(x)在[1,e]上连续,(1,e)内可导,且 f(1)=0 , f(e)=1 ,证明:至少存-|||-在一点 xi in (1,e) ,使得 '(s)=1 -

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用，以及通过构造辅助函数解决微分中值问题的能力。

解题核心思路：
题目要求证明存在一点$\xi \in (1,e)$，使得$\xi f'(\xi)=1$。关键在于构造一个合适的辅助函数，使其满足罗尔定理的条件（两端点函数值相等），从而应用罗尔定理得到导数为零的点，进而转化出目标方程。

破题关键点：

1. 观察目标方程$\xi f'(\xi)=1$，可变形为$f'(\xi)=\frac{1}{\xi}$，提示构造与$\ln x$相关的函数（因为$(\ln x)'=\frac{1}{x}$）。
2. 构造辅助函数$g(x)=f(x)-\ln x$，利用已知条件$f(1)=0$和$f(e)=1$，验证$g(1)=g(e)=0$，满足罗尔定理的条件。
3. 应用罗尔定理，直接得出存在$\xi$使得$g'(\xi)=0$，即$\xi f'(\xi)=1$。

构造辅助函数
定义函数$g(x)=f(x)-\ln x$，则：

• 在区间$[1,e]$上，$g(x)$连续；
• 在区间$(1,e)$内，$g(x)$可导；
• 计算端点值：
  $g(1)=f(1)-\ln 1=0-0=0,$
  $g(e)=f(e)-\ln e=1-1=0.$

应用罗尔定理
由于$g(x)$满足罗尔定理的条件，因此存在至少一点$\xi \in (1,e)$，使得：
$g'(\xi)=0.$

求导并转化方程
计算$g(x)$的导数：
$g'(x)=f'(x)-\frac{1}{x}.$
令$g'(\xi)=0$，得：
$f'(\xi)-\frac{1}{\xi}=0 \implies \xi f'(\xi)=1.$