设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且 (x,y)=y(e)^ydx+x(1+y)(e)^ydy (0,0)=0, 则-|||-f(x,y)= __

考查要点：本题主要考查全微分求原函数的方法，涉及偏积分和积分常数的确定。

解题核心思路：

1. 分解全微分：将已知的全微分分解为对$x$和$y$的偏导数。
2. 逐次积分：先对$x$积分得到$f(x,y)$的表达式（含任意函数），再对$y$求偏导并与题目给定的偏导数比较，确定任意函数。
3. 应用初始条件：利用$f(0,0)=0$确定积分常数。

破题关键点：

• 偏积分的顺序：先对$x$积分，再对$y$求导，通过比较确定任意函数。
• 任意函数的性质：若积分过程中出现的任意函数对另一变量的导数为零，则该函数为常数。

1. 分解偏导数
   由全微分定义：
   $\frac{\partial f}{\partial x} = y e^y, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x(1+y)e^y.$

2. 对$x$积分
   对$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^y$关于$x$积分：
   $f(x,y) = \int y e^y \, dx + \varphi(y) = x y e^y + \varphi(y).$

3. 对$y$求偏导并比较
   对$f(x,y) = x y e^y + \varphi(y)$关于$y$求导：
   $\frac{\partial f}{\partial y} = x e^y + x y e^y + \varphi'(y).$
   根据题目条件$\frac{\partial f}{\partial y} = x(1+y)e^y$，得：
   $x e^y + x y e^y + \varphi'(y) = x(1+y)e^y.$
   比较后可知$\varphi'(y) = 0$，因此$\varphi(y) = C$（常数）。

4. 应用初始条件
   代入$f(0,0) = 0$：
   $0 \cdot 0 \cdot e^0 + C = 0 \implies C = 0.$

5. 最终结果
   $f(x,y) = x y e^y.$