题目
设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且 (x,y)=y(e)^ydx+x(1+y)(e)^ydy (0,0)=0, 则-|||-f(x,y)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定偏导数
根据给定的全微分 $df(x,y)=y{e}^{y}dx+x(1+y){e}^{y}dy$ ，我们可以确定函数 $f(x,y)$ 的偏导数。具体来说，$\dfrac {\partial f}{\partial x}=y{e}^{y}$ 和 $\dfrac {\partial f}{\partial y}=x(1+y){e}^{y}$。
步骤 2：对偏导数进行积分
为了找到 $f(x,y)$，我们需要对偏导数进行积分。首先，对 $\dfrac {\partial f}{\partial x}=y{e}^{y}$ 关于 $x$ 积分，得到 $f(x,y)=xy{e}^{y}+C(y)$，其中 $C(y)$ 是关于 $y$ 的函数，因为对 $x$ 积分时，$y$ 被视为常数。
步骤 3：确定 $C(y)$
接下来，我们需要确定 $C(y)$。根据 $\dfrac {\partial f}{\partial y}=x(1+y){e}^{y}$，我们有 $\dfrac {\partial}{\partial y}(xy{e}^{y}+C(y))=x(1+y){e}^{y}$。这给出 $x{e}^{y}+xy{e}^{y}+C'(y)=x(1+y){e}^{y}$。因此，$C'(y)=0$，这意味着 $C(y)$ 是一个常数。
步骤 4：确定常数
由于 $f(0,0)=0$，我们可以确定 $C(y)=0$。因此，$f(x,y)=xy{e}^{y}$。
根据给定的全微分 $df(x,y)=y{e}^{y}dx+x(1+y){e}^{y}dy$ ，我们可以确定函数 $f(x,y)$ 的偏导数。具体来说，$\dfrac {\partial f}{\partial x}=y{e}^{y}$ 和 $\dfrac {\partial f}{\partial y}=x(1+y){e}^{y}$。
步骤 2：对偏导数进行积分
为了找到 $f(x,y)$，我们需要对偏导数进行积分。首先，对 $\dfrac {\partial f}{\partial x}=y{e}^{y}$ 关于 $x$ 积分，得到 $f(x,y)=xy{e}^{y}+C(y)$，其中 $C(y)$ 是关于 $y$ 的函数，因为对 $x$ 积分时，$y$ 被视为常数。
步骤 3：确定 $C(y)$
接下来，我们需要确定 $C(y)$。根据 $\dfrac {\partial f}{\partial y}=x(1+y){e}^{y}$，我们有 $\dfrac {\partial}{\partial y}(xy{e}^{y}+C(y))=x(1+y){e}^{y}$。这给出 $x{e}^{y}+xy{e}^{y}+C'(y)=x(1+y){e}^{y}$。因此，$C'(y)=0$，这意味着 $C(y)$ 是一个常数。
步骤 4：确定常数
由于 $f(0,0)=0$，我们可以确定 $C(y)=0$。因此，$f(x,y)=xy{e}^{y}$。