1.证明下列各式:-|||-(1) -(x)^2=0(x)(xarrow 0);-|||-(2) sin sqrt (x)=O((x)^dfrac (3{2)})(xarrow (0)^+);-|||-(3) sqrt (1+x)-1=0(1)(xarrow 0);-|||-(4) ((1+x))^n=1+nx+o(x)(xarrow 0) (n为正整数);

1. 第（1）题：考查小o记号的定义，需验证当$x \to 0$时，$2x - x^2$是否为比$x$更高阶的无穷小。关键点在于计算极限$\lim_{x \to 0} \frac{2x - x^2}{x}$，若极限为0则成立，否则需修正结论。
2. 第（2）题：利用变量代换将$\sin \sqrt{x}$转化为基本极限形式，结合大O记号的定义判断阶。
3. 第（3）题：通过泰勒展开或直接计算极限，证明$\sqrt{1+x} - 1$当$x \to 0$时为无穷小量。
4. 第（4）题：展开二项式$(1+x)^n$，合并高阶小项，验证剩余部分是否为$o(x)$。

第（1）题

验证小o记号定义

计算极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{2x - x^2}{x} = \lim_{x \to 0} (2 - x) = 2 \neq 0$
结论：原题结论错误，正确结论应为$2x - x^2 = O(x)$（大O记号）。

第（2）题

变量代换与极限分析

令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，当$x \to 0^+$时，$t \to 0^+$。计算：
$\lim_{t \to 0^+} \frac{t^2 \sin t}{t^{3}} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t} = 1$
结论：存在常数$C$，使得$|x \sin \sqrt{x}| \leq C x^{3/2}$，故$x \sin \sqrt{x} = O(x^{3/2})$。

第（3）题

泰勒展开法

展开$\sqrt{1+x}$：
$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)$
因此：
$\sqrt{1+x} - 1 = \frac{1}{2}x + o(x)$
当$x \to 0$时，$\frac{1}{2}x \to 0$，故$\sqrt{1+x} - 1 = o(1)$。

第（4）题

二项式展开

展开$(1+x)^n$：
$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \cdots + x^n$
当$x \to 0$时，$x^2, x^3, \dots$均为$o(x)$，故：
$(1+x)^n = 1 + nx + o(x)$