题目
3.随机变量X~U(-0.5,0.5),y=g(x)={}lnx,x>0,0,xleq0.,则E(Y)=____.
3.随机变量X~U(-0.5,0.5),$y=g(x)=\left\{\begin{matrix}lnx,x>0,\\0,x\leq0\end{matrix}\right.$,则E(Y)=____.
题目解答
答案
随机变量 $X \sim U(-0.5, 0.5)$，函数 $Y = g(X)$ 定义为：
\[ Y = \begin{cases}
\ln X & X > 0, \\
0 & X \leq 0.
\end{cases} \]
计算期望 $E(Y)$：
\[
E(Y) = \int_{-0.5}^{0.5} g(x) f_X(x) \, dx = \int_{-0.5}^{0} 0 \cdot 1 \, dx + \int_{0}^{0.5} \ln x \cdot 1 \, dx = \int_{0}^{0.5} \ln x \, dx.
\]
使用分部积分法：
\[
\int_{0}^{0.5} \ln x \, dx = \left[ x \ln x - x \right]_{0}^{0.5} = 0.5 \ln 0.5 - 0.5 - \lim_{x \to 0^+} (x \ln x - x) = -0.5 \ln 2 - 0.5.
\]
因此，期望为：
\[
\boxed{-0.5 (\ln 2 + 1)}.
\]
解析
步骤 1：定义随机变量和函数
随机变量 $X \sim U(-0.5, 0.5)$，函数 $Y = g(X)$ 定义为： \[ Y = \begin{cases} \ln X & X > 0, \\ 0 & X \leq 0. \end{cases} \]
步骤 2：计算期望 $E(Y)$
期望 $E(Y)$ 可以通过积分计算： \[ E(Y) = \int_{-0.5}^{0.5} g(x) f_X(x) \, dx. \] 其中，$f_X(x)$ 是 $X$ 的概率密度函数，对于均匀分布 $U(-0.5, 0.5)$，$f_X(x) = 1$ 对于 $x \in (-0.5, 0.5)$。
步骤 3：分段计算积分
根据 $g(x)$ 的定义，积分可以分为两部分： \[ E(Y) = \int_{-0.5}^{0} 0 \cdot 1 \, dx + \int_{0}^{0.5} \ln x \cdot 1 \, dx = \int_{0}^{0.5} \ln x \, dx. \]
步骤 4：使用分部积分法计算积分
使用分部积分法计算 $\int_{0}^{0.5} \ln x \, dx$： \[ \int_{0}^{0.5} \ln x \, dx = \left[ x \ln x - x \right]_{0}^{0.5} = 0.5 \ln 0.5 - 0.5 - \lim_{x \to 0^+} (x \ln x - x). \] 注意到 $\lim_{x \to 0^+} (x \ln x - x) = 0$，因此： \[ \int_{0}^{0.5} \ln x \, dx = 0.5 \ln 0.5 - 0.5 = -0.5 \ln 2 - 0.5. \]
随机变量 $X \sim U(-0.5, 0.5)$，函数 $Y = g(X)$ 定义为： \[ Y = \begin{cases} \ln X & X > 0, \\ 0 & X \leq 0. \end{cases} \]
步骤 2：计算期望 $E(Y)$
期望 $E(Y)$ 可以通过积分计算： \[ E(Y) = \int_{-0.5}^{0.5} g(x) f_X(x) \, dx. \] 其中，$f_X(x)$ 是 $X$ 的概率密度函数，对于均匀分布 $U(-0.5, 0.5)$，$f_X(x) = 1$ 对于 $x \in (-0.5, 0.5)$。
步骤 3：分段计算积分
根据 $g(x)$ 的定义，积分可以分为两部分： \[ E(Y) = \int_{-0.5}^{0} 0 \cdot 1 \, dx + \int_{0}^{0.5} \ln x \cdot 1 \, dx = \int_{0}^{0.5} \ln x \, dx. \]
步骤 4：使用分部积分法计算积分
使用分部积分法计算 $\int_{0}^{0.5} \ln x \, dx$： \[ \int_{0}^{0.5} \ln x \, dx = \left[ x \ln x - x \right]_{0}^{0.5} = 0.5 \ln 0.5 - 0.5 - \lim_{x \to 0^+} (x \ln x - x). \] 注意到 $\lim_{x \to 0^+} (x \ln x - x) = 0$，因此： \[ \int_{0}^{0.5} \ln x \, dx = 0.5 \ln 0.5 - 0.5 = -0.5 \ln 2 - 0.5. \]