题目
(7)已知连续型随机变量X的概率密度为-|||-varphi (x)= { x,0lt xlt 4 0
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定数学期望的计算公式
对于连续型随机变量X，其数学期望E(X)的计算公式为：$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) dx$，其中$f(x)$是X的概率密度函数。
步骤 2：代入给定的概率密度函数
根据题目，概率密度函数$f(x)$为：$\varphi (x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{8}x,0\lt x\lt 4\\ 0,\end{matrix} \right.$
因此，$E(X) = \int_{0}^{4} x \cdot \dfrac{1}{8}x dx$。
步骤 3：计算积分
$E(X) = \int_{0}^{4} \dfrac{1}{8}x^2 dx = \dfrac{1}{8} \int_{0}^{4} x^2 dx = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{3}x^3 \Big|_{0}^{4} = \dfrac{1}{24} \cdot (4^3 - 0^3) = \dfrac{1}{24} \cdot 64 = \dfrac{8}{3}$。
对于连续型随机变量X，其数学期望E(X)的计算公式为：$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) dx$，其中$f(x)$是X的概率密度函数。
步骤 2：代入给定的概率密度函数
根据题目，概率密度函数$f(x)$为：$\varphi (x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{8}x,0\lt x\lt 4\\ 0,\end{matrix} \right.$
因此，$E(X) = \int_{0}^{4} x \cdot \dfrac{1}{8}x dx$。
步骤 3：计算积分
$E(X) = \int_{0}^{4} \dfrac{1}{8}x^2 dx = \dfrac{1}{8} \int_{0}^{4} x^2 dx = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{3}x^3 \Big|_{0}^{4} = \dfrac{1}{24} \cdot (4^3 - 0^3) = \dfrac{1}{24} \cdot 64 = \dfrac{8}{3}$。