题目

单选题（共63题，60.0分）5.（0.9分）设PAQ=E，其中P、Q、A都是n阶方阵，则（）A A^-1=P^-1Q^-1;B A^-1=Q^-1P^-1;C A^-1=PQ;D A^-1=QP.

单选题（共63题，60.0分） 5.（0.9分）设PAQ=E，其中P、Q、A都是n阶方阵，则（） A $A^{-1}=P^{-1}Q^{-1}$; B $A^{-1}=Q^{-1}P^{-1}$; C $A^{-1}=PQ$; D $A^{-1}=QP$.

题目解答

答案

由题意 $PAQ = E$，其中 $P, A, Q$ 均为 $n$ 阶方阵。对等式两边取逆，利用逆的性质 $(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$，得： \[ (PAQ)^{-1} = Q^{-1}A^{-1}P^{-1} = E^{-1} = E \] 两边左乘 $Q$，右乘 $P$，化简得： \[ A^{-1} = QP \] 或者，从原式 $PAQ = E$ 出发，可得 $A = P^{-1}Q^{-1}$，从而 $A^{-1} = (P^{-1}Q^{-1})^{-1} = QP$。 因此，正确答案为 $A^{-1} = QP$。 答案：D. $A^{-1} = QP$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵乘法的逆运算性质，特别是多个矩阵相乘时逆矩阵的求法。

解题核心思路：

  1. 利用逆矩阵的性质：若矩阵乘积的逆为各矩阵逆的反序乘积，即 $(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$。
  2. 通过方程变形解出目标矩阵：从已知等式 $PAQ = E$ 出发，通过取逆或直接变形，推导出 $A^{-1}$ 的表达式。

破题关键点：

  • 正确应用逆矩阵的顺序规则，避免因顺序错误导致选项混淆。
  • 注意矩阵乘法不满足交换律，必须严格遵循运算顺序。

已知条件：$PAQ = E$，其中 $P, A, Q$ 均为 $n$ 阶方阵。

方法一：对等式取逆

  1. 取逆操作：
    对等式两边取逆，利用逆矩阵的性质：
    $(PAQ)^{-1} = Q^{-1}A^{-1}P^{-1} = E^{-1} = E.$
  2. 化简求 $A^{-1}$：
    两边左乘 $Q$，右乘 $P$，得：
    $Q \cdot Q^{-1}A^{-1}P^{-1} \cdot P = Q \cdot E \cdot P \implies A^{-1} = QP.$

方法二：直接解出 $A$ 再求逆

  1. 解出 $A$：
    从原式 $PAQ = E$ 出发，两边左乘 $P^{-1}$，右乘 $Q^{-1}$，得：
    $A = P^{-1}Q^{-1}.$
  2. 求 $A^{-1}$：
    对 $A = P^{-1}Q^{-1}$ 取逆，得：
    $A^{-1} = (P^{-1}Q^{-1})^{-1} = QP.$

结论：两种方法均得出 $A^{-1} = QP$，对应选项 D。