[题目]-|||-判断下列级数的收敛性:-|||-sum _(n=1)^infty dfrac (1)((n+1)(n+4))

考查要点：本题主要考查级数的收敛性判断，特别是通过部分分式分解将通项拆分为差的形式，利用相消求和法判断级数的收敛性。

解题核心思路：

1. 部分分式分解：将通项 $\dfrac{1}{(n+1)(n+4)}$ 分解为两个简单分式的差，即 $\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+4}\right)$。
2. 相消求和：展开部分和时，中间项相互抵消，仅剩首尾部分，从而求出部分和的表达式。
3. 极限判断：当项数趋于无穷时，剩余项趋于零，部分和的极限存在，说明级数收敛。

破题关键点：

• 正确分解通项是关键的第一步，需熟练掌握部分分式分解的方法。
• 观察相消规律，明确剩余项的表达式，进而求出部分和的极限。

步骤1：部分分式分解

将通项 $\dfrac{1}{(n+1)(n+4)}$ 分解为：
$\dfrac{1}{(n+1)(n+4)} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+4}\right)$

步骤2：展开部分和

部分和 $S_N$ 为：
$\begin{aligned}S_N &= \sum_{n=1}^{N} \dfrac{1}{(n+1)(n+4)} \\&= \dfrac{1}{3} \sum_{n=1}^{N} \left( \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+4} \right) \\&= \dfrac{1}{3} \left[ \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{N+1} \right) - \left( \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \cdots + \dfrac{1}{N+4} \right) \right]\end{aligned}$

步骤3：相消简化

中间项 $\dfrac{1}{5}$ 到 $\dfrac{1}{N+1}$ 相互抵消，剩余：
$S_N = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{N+2} - \dfrac{1}{N+3} - \dfrac{1}{N+4} \right)$

步骤4：求极限

当 $N \to \infty$ 时，$\dfrac{1}{N+2}, \dfrac{1}{N+3}, \dfrac{1}{N+4}$ 均趋于 $0$，故：
$\lim_{N \to \infty} S_N = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \right) = \dfrac{13}{36}$

结论：部分和的极限存在，因此级数收敛，和为 $\dfrac{13}{36}$。