题目
设lim _(xarrow infty )dfrac (a{x)^2-1}(x-1)=0-|||-__,则a= __________.
设
,则a= __________.
题目解答
答案
根据题意，可解：
当
时
∵
用洛必达法则
∴
∴
故本题答案为 0
解析
步骤 1：分析极限条件
根据题意，当$x$趋向于无穷大时，$\dfrac {a{x}^{2}-1}{x-1}$的极限为0。这意味着分子$a{x}^{2}-1$的增长速度必须小于分母$x-1$的增长速度，否则极限不会为0。
步骤 2：应用洛必达法则
由于分子和分母都趋向于无穷大，我们可以应用洛必达法则来求解极限。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {f(x)}{g(x)}$是$\dfrac {\infty }{\infty }$或$\dfrac {0}{0}$的形式，那么$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，其中$f'(x)$和$g'(x)$分别是$f(x)$和$g(x)$的导数。
步骤 3：求导并求极限
对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2ax}{1}$。由于分母为常数1，极限的值取决于分子$2ax$。要使极限为0，$2ax$必须趋向于0，这意味着$a$必须为0。
根据题意，当$x$趋向于无穷大时，$\dfrac {a{x}^{2}-1}{x-1}$的极限为0。这意味着分子$a{x}^{2}-1$的增长速度必须小于分母$x-1$的增长速度，否则极限不会为0。
步骤 2：应用洛必达法则
由于分子和分母都趋向于无穷大，我们可以应用洛必达法则来求解极限。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {f(x)}{g(x)}$是$\dfrac {\infty }{\infty }$或$\dfrac {0}{0}$的形式，那么$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，其中$f'(x)$和$g'(x)$分别是$f(x)$和$g(x)$的导数。
步骤 3：求导并求极限
对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2ax}{1}$。由于分母为常数1，极限的值取决于分子$2ax$。要使极限为0，$2ax$必须趋向于0，这意味着$a$必须为0。