9.(10.0分) 已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=}4xy,0le xle 1,0le yle 10,其他rho_(xy)=______

考查要点：本题主要考查随机变量相关系数的计算，涉及联合概率密度、期望、协方差及方差的计算。

解题核心思路：

1. 计算期望：分别求出$E[X]$和$E[Y]$，利用二重积分对联合概率密度函数积分。
2. 计算$E[XY]$：通过二重积分求解。
3. 求协方差：利用公式$\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$。
4. 相关系数公式：$\rho_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$，若协方差为零，则相关系数为零。

破题关键：

• 对称性简化计算：由于联合概率密度函数关于$x$和$y$对称，$E[X]=E[Y]$，$D(X)=D(Y)$。
• 协方差为零：若协方差为零，直接得出相关系数为零，无需计算标准差。

1. 计算期望$E[X]$和$E[Y]$

$E[X] = \int_0^1 \int_0^1 x \cdot 4xy \, dy \, dx = \int_0^1 4x^2 \left( \int_0^1 y \, dy \right) dx = \int_0^1 4x^2 \cdot \frac{1}{2} \, dx = 2 \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{2}{3}$
同理，$E[Y] = \frac{2}{3}$。

2. 计算$E[XY]$

$E[XY] = \int_0^1 \int_0^1 xy \cdot 4xy \, dy \, dx = 4 \int_0^1 x^2 \, dx \int_0^1 y^2 \, dy = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$

3. 计算协方差$\text{Cov}(X,Y)$

$\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{4}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0$

4. 相关系数$\rho_{XY}$

由于协方差为零，相关系数为：
$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = 0$