题目
记Sn为数列(an)的前n项和，已知a1=1，(({S)_(n))/((a)_{n)}}是公差为(1)/(3)的等差数列．（1）求(an)的通项公式；（2）证明：(1)/(({a_1))}+(1)/(({a_2))}+…+(1)/(({a_n))}＜2．
记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是公差为$\frac{1}{3}$的等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{{{a_1}}}$+$\frac{1}{{{a_2}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}}}$＜2．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{{{a_1}}}$+$\frac{1}{{{a_2}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}}}$＜2．
题目解答
答案
解：（1）已知a1=1，{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是公差为$\frac{1}{3}$的等差数列，
所以$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{3}（n-1）=\frac{1}{3}n+\frac{2}{3}$，整理得${S}_{n}=\frac{1}{3}{na}_{n}+\frac{2}{3}{a}_{n}$，①，
故当n≥2时，${S}_{n-1}=\frac{1}{3}{（n-1）a}_{n-1}+\frac{2}{3}{a}_{n-1}$，②，
①-②得：$\frac{1}{3}{a}_{n}=\frac{1}{3}{na}_{n}-\frac{1}{3}{na}_{n-1}-\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，
故（n-1）an=（n+1）an-1，
化简得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n}{n-2}$，........，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{4}{2}$，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{3}{1}$；
所以$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{n（n+1）}{2}$，
故${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$（首项符合通项）．
所以${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$．
证明：（2）由于${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，
所以$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
所以$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+...+\frac{1}{{a}_{n}}=2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$2×（1-\frac{1}{n+1}）＜2$．
所以$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{3}（n-1）=\frac{1}{3}n+\frac{2}{3}$，整理得${S}_{n}=\frac{1}{3}{na}_{n}+\frac{2}{3}{a}_{n}$，①，
故当n≥2时，${S}_{n-1}=\frac{1}{3}{（n-1）a}_{n-1}+\frac{2}{3}{a}_{n-1}$，②，
①-②得：$\frac{1}{3}{a}_{n}=\frac{1}{3}{na}_{n}-\frac{1}{3}{na}_{n-1}-\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，
故（n-1）an=（n+1）an-1，
化简得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n}{n-2}$，........，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{4}{2}$，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{3}{1}$；
所以$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{n（n+1）}{2}$，
故${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$（首项符合通项）．
所以${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$．
证明：（2）由于${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，
所以$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
所以$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+...+\frac{1}{{a}_{n}}=2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$2×（1-\frac{1}{n+1}）＜2$．
解析
步骤 1：确定等差数列的通项公式
已知{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是公差为$\frac{1}{3}$的等差数列，且首项为$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{1}{1}=1$，所以等差数列的通项公式为$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{3}(n-1)=\frac{1}{3}n+\frac{2}{3}$。
步骤 2：求出数列{a_n}的前n项和S_n
由步骤1得到$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=\frac{1}{3}n+\frac{2}{3}$，所以${S}_{n}=\frac{1}{3}n{a}_{n}+\frac{2}{3}{a}_{n}$。
步骤 3：求出数列{a_n}的通项公式
当n≥2时，${S}_{n-1}=\frac{1}{3}(n-1){a}_{n-1}+\frac{2}{3}{a}_{n-1}$，所以${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{3}n{a}_{n}+\frac{2}{3}{a}_{n}-\frac{1}{3}(n-1){a}_{n-1}-\frac{2}{3}{a}_{n-1}$，化简得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$，所以${a}_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$。
步骤 4：证明$\frac{1}{{{a_1}}}$+$\frac{1}{{{a_2}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}}}$＜2
由步骤3得到${a}_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$，所以$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$，所以$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+...+\frac{1}{{a}_{n}}=2(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=2(1-\frac{1}{n+1})<2$。
已知{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是公差为$\frac{1}{3}$的等差数列，且首项为$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{1}{1}=1$，所以等差数列的通项公式为$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{3}(n-1)=\frac{1}{3}n+\frac{2}{3}$。
步骤 2：求出数列{a_n}的前n项和S_n
由步骤1得到$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=\frac{1}{3}n+\frac{2}{3}$，所以${S}_{n}=\frac{1}{3}n{a}_{n}+\frac{2}{3}{a}_{n}$。
步骤 3：求出数列{a_n}的通项公式
当n≥2时，${S}_{n-1}=\frac{1}{3}(n-1){a}_{n-1}+\frac{2}{3}{a}_{n-1}$，所以${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{3}n{a}_{n}+\frac{2}{3}{a}_{n}-\frac{1}{3}(n-1){a}_{n-1}-\frac{2}{3}{a}_{n-1}$，化简得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$，所以${a}_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$。
步骤 4：证明$\frac{1}{{{a_1}}}$+$\frac{1}{{{a_2}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}}}$＜2
由步骤3得到${a}_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$，所以$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$，所以$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+...+\frac{1}{{a}_{n}}=2(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=2(1-\frac{1}{n+1})<2$。