题目
证明:两整数a , b 互质的充分与必要条件是: 存在两个整数s, t 满足条件:as + bt = 1.
证明:两整数a , b 互质的充分与必要条件是: 存在两个整数s, t 满足
条件:as + bt = 1.
题目解答
答案
证明:
必要性:if (a,b)=1,则由推论1.2可知存在s,t满足as+bt=(a,b),
所以as + bt = 1
充分性:if 存在整数s,t使得as+bt=1,
则a,b不全为零,
又因为(a,b)
a,(a,b) b,
所以(a,bas+bt)=1
又(a,b)>0,
所以(a,b)=1.
解析
步骤 1：必要性证明
假设整数a和b互质，即(a, b) = 1。根据裴蜀定理（Bézout's identity），对于任何两个整数a和b，存在整数s和t，使得as + bt = (a, b)。因为(a, b) = 1，所以存在整数s和t，使得as + bt = 1。
步骤 2：充分性证明
假设存在整数s和t，使得as + bt = 1。我们需要证明a和b互质，即(a, b) = 1。假设d是a和b的公约数，即d | a且d | b。那么d也必须整除as + bt，即d | 1。因为d是整数，所以d只能是1或-1。因此，a和b的最大公约数为1，即(a, b) = 1。
假设整数a和b互质，即(a, b) = 1。根据裴蜀定理（Bézout's identity），对于任何两个整数a和b，存在整数s和t，使得as + bt = (a, b)。因为(a, b) = 1，所以存在整数s和t，使得as + bt = 1。
步骤 2：充分性证明
假设存在整数s和t，使得as + bt = 1。我们需要证明a和b互质，即(a, b) = 1。假设d是a和b的公约数，即d | a且d | b。那么d也必须整除as + bt，即d | 1。因为d是整数，所以d只能是1或-1。因此，a和b的最大公约数为1，即(a, b) = 1。