5. 求不定积分 int (dx)/(sqrt[3]((x+1)^2 (x-1)^4)).

本题考查不定积分的计算，解题思路是通过换元法将被积函数化简，然后再进行积分运算。

1. 换元：
   令$x = \frac{1 + t}{1 - t}$，对$x$求关于$t$的导数，根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，其中$u = 1 + t$，$u^\prime=1$；$v = 1 - t$，$v^\prime=-1$，可得：
   $dx=\frac{1\times(1 - t)-(1 + t)\times(-1)}{(1 - t)^2}dt=\frac{1 - t + 1 + t}{(1 - t)^2}dt=\frac{2}{(1 - t)^2}dt$
   同时计算$x + 1$和$x - 1$：
   $x + 1=\frac{1 + t}{1 - t}+1=\frac{1 + t + 1 - t}{1 - t}=\frac{2}{1 - t}$
   $x - 1=\frac{1 + t}{1 - t}-1=\frac{1 + t-(1 - t)}{1 - t}=\frac{2t}{1 - t}$
2. 化简被积函数：
   将$x + 1=\frac{2}{1 - t}$，$x - 1=\frac{2t}{1 - t}$，$dx=\frac{2}{(1 - t)^2}dt$代入原不定积分$\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^2 (x-1)^4}}$中，可得：
   $\begin{align*} \int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^2 (x-1)^4}}&=\int \frac{\frac{2}{(1 - t)^2}}{\sqrt[3]{(\frac{2}{1 - t})^2 (\frac{2t}{1 - t})^4}}dt\\ &=\int \frac{\frac{2}{(1 - t)^2}}{\sqrt[3]{\frac{4}{(1 - t)^2}\cdot\frac{16t^4}{(1 - t)^4}}}dt\\ &=\int \frac{\frac{2}{(1 - t)^2}}{\sqrt[3]{\frac{64t^4}{(1 - t)^6}}}dt\\ &=\int \frac{\frac{2}{(1 - t)^2}}{\frac{4t^{\frac{4}{3}}}{(1 - t)^2}}dt\\ &=\int \frac{2}{(1 - t)^2}\cdot\frac{(1 - t)^2}{4t^{\frac{4}{3}}}dt\\ &=\frac{1}{2}\int t^{-\frac{4}{3}}dt \end{align*}$
3. 计算积分：
   根据幂函数积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对$\frac{1}{2}\int t^{-\frac{4}{3}}dt$进行积分：
   $\frac{1}{2}\int t^{-\frac{4}{3}}dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{-\frac{4}{3}+1}}{-\frac{4}{3}+1}+C=\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}}+C=-\frac{3}{2}t^{-\frac{1}{3}}+C$
4. 回代：
   由$x = \frac{1 + t}{1 - t}$，解出$t$：
   $x(1 - t)=1 + t\\ x - xt = 1 + t\\ x - 1 = t + xt\\ x - 1 = t(1 + x)\\ t=\frac{x - 1}{x + 1}$
   将$t = \frac{x - 1}{x + 1}$代回$-\frac{3}{2}t^{-\frac{1}{3}}+C$中，可得：
   $-\frac{3}{2}(\frac{x - 1}{x + 1})^{-\frac{1}{3}}+C=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x - 1}}+C$