20.[(本题满分12分)已知平面有界区域D=(x,y)mid x^2+y^2leq 4x,x^2+y^2leq 4y计算iintlimits_(D)(x-y)^2dxdy.

将区域 $D$ 转化为极坐标系，其中 $D$ 由 $r \leq 4\cos\theta$ 和 $r \leq 4\sin\theta$ 定义，且 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$。 在极坐标下，$(x-y)^2 = r^2(\cos\theta - \sin\theta)^2$，面积元素 $dxdy = r dr d\theta$。 积分变为： \[ \iint\limits_{D} (x-y)^2 \, dx \, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{4\cos\theta} r^3(\cos\theta - \sin\theta)^2 \, dr \, d\theta + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{4\sin\theta} r^3(\cos\theta - \sin\theta)^2 \, dr \, d\theta \] 计算内积分得： \[ \int_{0}^{4\cos\theta} r^3 \, dr = 64\cos^4\theta, \quad \int_{0}^{4\sin\theta} r^3 \, dr = 64\sin^4\theta \] 外积分化简为： \[ 64 \left[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^4\theta(1 - \sin 2\theta) \, d\theta + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta(1 - \sin 2\theta) \, d\theta \right] \] 利用对称性，两部分积分相等，故只需计算一个并乘以 2。 最终结果为： \[ \boxed{\frac{16}{3}(4 - \pi)} \]