3.设f"(x)存在,求下列函数的二阶导数 dfrac ({d)^2y}(d{x)^2} =-|||-(1) =f((x)^2) : (2) =ln [ f(x)] -

考查要点：本题主要考查复合函数的二阶导数求解，涉及链式法则、乘积法则及商的导数法则的应用。

解题思路：

1. 复合函数求导：对于复合函数，需逐层应用链式法则，注意外层函数与内层函数的导数相乘。
2. 乘积法则与商法则：在求导过程中，若出现乘积或分式形式，需分别应用乘积法则或商的导数法则。
3. 二阶导数的递推：在一阶导数的基础上，再次对结果求导，注意每一步的中间变量和符号处理。

破题关键：

• 第（1）题：外层函数为$f(u)$，内层函数为$u=x^2$，需两次应用链式法则，并结合乘积法则处理乘积项。
• 第（2）题：外层函数为$\ln f(x)$，一阶导数为分式形式，二阶导数需应用商的导数法则。

第（1）题：$y = f(x^2)$

求一阶导数

应用链式法则：
$y' = f'(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x f'(x^2)$

求二阶导数

对$y'$应用乘积法则：
$y'' = \frac{d}{dx}[2x] \cdot f'(x^2) + 2x \cdot \frac{d}{dx}[f'(x^2)]$

1. 第一项：$\frac{d}{dx}(2x) = 2$，故第一项为$2 f'(x^2)$。
2. 第二项：对$f'(x^2)$再次应用链式法则：
   $\frac{d}{dx}[f'(x^2)] = f''(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x f''(x^2)$
   因此第二项为$2x \cdot 2x f''(x^2) = 4x^2 f''(x^2)$。

最终结果：
$y'' = 2f'(x^2) + 4x^2 f''(x^2)$

第（2）题：$y = \ln[f(x)]$

求一阶导数

应用链式法则：
$y' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$

求二阶导数

对$y'$应用商的导数法则：
$y'' = \frac{f''(x) \cdot f(x) - f'(x) \cdot f'(x)}{[f(x)]^2} = \frac{f''(x)f(x) - [f'(x)]^2}{[f(x)]^2}$