双曲正弦函数y=dfrac({e)^x-(e)^-x}(2)的反函数是 .
双曲正弦函数$y=\dfrac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$的反函数是 .
题目解答
答案
【答案】
$y=\ln \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) $，$x\in R$.
【解析】
易知函数$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$的定义域为$R$，
因为$y'=\frac{e^x+e^{-x}}{2}>0$，
所以$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$在$R$上单调递增，
所以$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$存在反函数，
因为$x\rightarrow -\infty $时，$e^x\rightarrow 0$，$e^{-x}\rightarrow +\infty $，
所以此时$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\rightarrow -\infty $，
因为$x\rightarrow +\infty $时，$e^x\rightarrow +\infty $，$e^{-x}\rightarrow 0$，
所以此时$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\rightarrow +\infty $，
所以$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$在$R$上的值域为$R$，
由$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$可得$2y={e}^{x}-{e}^{-x}$,两边同乘${e}^{x}$可得，$e^{2x}-2ye^x-1=0$，
设${e}^{x}=t$，所以${t}^{2}-2yt-1=0$
因为$y\in R$，所以$\Delta =4{y}^{2}+4\gt 0$，
所以${e}^{x}=t=\frac{2y\pm \sqrt{4{y}^{2}+4}}{2}=y\pm \sqrt{{y}^{2}+1}$，
因为$y-\sqrt{{y}^{2}+1}\lt y-\sqrt{{y}^{2}}=y-\left|y\right|\leqslant 0$，
$y+\sqrt{{y}^{2}+1}\gt y+\sqrt{{y}^{2}}=y+\left|y\right|\geqslant 0$，
又因为$e^x>0$，所以$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$，
所以$x=\ln \left( y+\sqrt{y^2+1} \right) $，$y\in R$，
所以$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$的反函数为$y=\ln \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) $，$x\in R$.
故答案为：$y=\ln \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) $，$x\in R$.
解析
原函数$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$的定义域为$R$，因为$e^x$和$e^{-x}$在$R$上都有定义。由于$e^x$和$e^{-x}$都是单调递增和递减的，所以$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$在$R$上单调递增，因此其值域为$R$。
步骤 2：求解反函数
由$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$，两边同乘以$2$得到$2y=e^x-e^{-x}$，再两边同乘以$e^x$得到$2ye^x=e^{2x}-1$，即$e^{2x}-2ye^x-1=0$。设$e^x=t$，则有$t^2-2yt-1=0$。解这个关于$t$的二次方程，得到$t=y\pm\sqrt{y^2+1}$。因为$e^x>0$，所以$t=y+\sqrt{y^2+1}$。因此，$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$，从而$x=\ln(y+\sqrt{y^2+1})$。所以，原函数的反函数为$y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$，$x\in R$。