题目
求旋转抛物面 =(x)^2+(y)^2(0leqslant zleqslant 4) 在三坐标面上的投影.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转抛物面在xOy面上的投影
旋转抛物面 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 在xOy面上的投影，即当 $z=0$ 时，$z={x}^{2}+{y}^{2}$ 的投影。由于 $z=0$，则 ${x}^{2}+{y}^{2}=0$，但考虑到 $0\leqslant z\leqslant 4$，因此投影区域为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$，即半径为2的圆。
步骤 2：确定旋转抛物面在yOz面上的投影
旋转抛物面 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 在yOz面上的投影，即当 $x=0$ 时，$z={x}^{2}+{y}^{2}$ 的投影。由于 $x=0$，则 $z={y}^{2}$，因此投影区域为由 $z={y}^{2}$ 及 $z=4$ 所围成的区域。
步骤 3：确定旋转抛物面在xOz面上的投影
旋转抛物面 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 在xOz面上的投影，即当 $y=0$ 时，$z={x}^{2}+{y}^{2}$ 的投影。由于 $y=0$，则 $z={x}^{2}$，因此投影区域为由 $z={x}^{2}$ 及 $z=4$ 所围成的区域。
旋转抛物面 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 在xOy面上的投影，即当 $z=0$ 时，$z={x}^{2}+{y}^{2}$ 的投影。由于 $z=0$，则 ${x}^{2}+{y}^{2}=0$，但考虑到 $0\leqslant z\leqslant 4$，因此投影区域为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$，即半径为2的圆。
步骤 2：确定旋转抛物面在yOz面上的投影
旋转抛物面 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 在yOz面上的投影，即当 $x=0$ 时，$z={x}^{2}+{y}^{2}$ 的投影。由于 $x=0$，则 $z={y}^{2}$，因此投影区域为由 $z={y}^{2}$ 及 $z=4$ 所围成的区域。
步骤 3：确定旋转抛物面在xOz面上的投影
旋转抛物面 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 在xOz面上的投影，即当 $y=0$ 时，$z={x}^{2}+{y}^{2}$ 的投影。由于 $y=0$，则 $z={x}^{2}$，因此投影区域为由 $z={x}^{2}$ 及 $z=4$ 所围成的区域。