题目
6.设 (x)=(int )_(0)^2xcos (t)^2dt, 则 '(x)= ()
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，如果 $F(x) = \int_{a}^{x} g(t) dt$，那么 $F'(x) = g(x)$。这里，$f(x) = \int_{0}^{2x} \cos t^2 dt$，因此我们需要找到 $f'(x)$。
步骤 2：应用链式法则
由于积分上限是 $2x$，而不是 $x$，我们需要应用链式法则。设 $u = 2x$，则 $f(x) = \int_{0}^{u} \cos t^2 dt$。根据链式法则，$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{0}^{u} \cos t^2 dt = \frac{d}{du} \int_{0}^{u} \cos t^2 dt \cdot \frac{du}{dx}$。
步骤 3：计算导数
根据微积分基本定理，$\frac{d}{du} \int_{0}^{u} \cos t^2 dt = \cos u^2$。由于 $u = 2x$，则 $\frac{du}{dx} = 2$。因此，$f'(x) = \cos (2x)^2 \cdot 2 = 2\cos 4x^2$。
根据微积分基本定理，如果 $F(x) = \int_{a}^{x} g(t) dt$，那么 $F'(x) = g(x)$。这里，$f(x) = \int_{0}^{2x} \cos t^2 dt$，因此我们需要找到 $f'(x)$。
步骤 2：应用链式法则
由于积分上限是 $2x$，而不是 $x$，我们需要应用链式法则。设 $u = 2x$，则 $f(x) = \int_{0}^{u} \cos t^2 dt$。根据链式法则，$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{0}^{u} \cos t^2 dt = \frac{d}{du} \int_{0}^{u} \cos t^2 dt \cdot \frac{du}{dx}$。
步骤 3：计算导数
根据微积分基本定理，$\frac{d}{du} \int_{0}^{u} \cos t^2 dt = \cos u^2$。由于 $u = 2x$，则 $\frac{du}{dx} = 2$。因此，$f'(x) = \cos (2x)^2 \cdot 2 = 2\cos 4x^2$。