题目
1.求下列各微分方程的通解:(1)y^primeprime=x+sin x;(3)y^primeprime=(1)/(1+x^2);(5)y^primeprime=y^prime+x;(7)yy^primeprime+2y^prime 2=0;
1.求下列各微分方程的通解:
(1)$y^{\prime\prime}=x+\sin x;$
(3)$y^{\prime\prime}=\frac{1}{1+x^{2}};$
(5)$y^{\prime\prime}=y^{\prime}+x;$
(7)$yy^{\prime\prime}+2y^{\prime 2}=0;$
题目解答
答案
1. 对 $y'' = x + \sin x$ 积分两次得：
\[
y = \frac{x^3}{6} - \sin x + C_1 x + C_2
\]
3. 对 $y'' = \frac{1}{1 + x^2}$ 积分两次得：
\[
y = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + C_1 x + C_2
\]
5. 令 $p = y'$，解一阶线性方程 $\frac{dp}{dx} - p = x$ 得：
\[
y = C_1 e^x - \frac{x^2}{2} - x + C_2
\]
7. 令 $p = y'$，分离变量解得：
\[
y^3 = C_1 x + C_2
\]
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & y = \frac{x^3}{6} - \sin x + C_1 x + C_2 \\
3. & y = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + C_1 x + C_2 \\
5. & y = C_1 e^x - \frac{x^2}{2} - x + C_2 \\
7. & y^3 = C_1 x + C_2 \\
\end{array}
}
\]