证明下列不等式: (1)|arctan a-arctan b|≤|a-b|; (2)当x>1时, ex>ex

考查要点：
本题两小题均考查拉格朗日中值定理的应用，通过构造适当的函数，利用导数的性质推导不等式。

• 第（1）题的关键是利用反正切函数的导数性质，结合中值定理建立不等式；
• 第（2）题需构造指数函数，通过分析导数在特定区间内的下界来证明不等式。

核心思路：
通过中值定理将函数值的差转化为导数与自变量差的乘积，结合导数的范围（如第（1）题中导数 $\leq 1$，第（2）题中导数 $> e$）推导出目标不等式。

第（1）题

构造函数与验证条件

设 $f(x) = \arctan x$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，满足拉格朗日中值定理的条件。

应用中值定理

存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
$\arctan b - \arctan a = f'(\xi)(b - a) = \frac{1}{1+\xi^2}(b - a).$

分析导数范围

由于 $\frac{1}{1+\xi^2} \leq 1$，两边取绝对值得：
$\left|\arctan b - \arctan a\right| = \frac{1}{1+\xi^2}|b - a| \leq |b - a|.$

第（2）题

构造函数与验证条件

设 $f(x) = e^x$，则 $f(x)$ 在 $[1, x]$ 上连续，在 $(1, x)$ 内可导，满足拉格朗日中值定理的条件。

应用中值定理

存在 $\xi \in (1, x)$，使得：
$e^x - e^1 = f'(\xi)(x - 1) = e^\xi (x - 1).$

分析导数范围

因 $\xi > 1$，故 $e^\xi > e$，代入得：
$e^x - e = e^\xi (x - 1) > e(x - 1),$
整理得 $e^x > e x$。