题目
__-|||-8. lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2-1}(x-1)(e)^dfrac (1{x-1)}=
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简分子
分子 ${x}^{2}-1$ 可以分解为 $(x-1)(x+1)$，因此原式可以写为 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(x-1)(x+1)}{x-1}{e}^{\dfrac {1}{x-1}}$。
步骤 2：约分
由于 $x\rightarrow 1$ 时，$x-1$ 不为零，可以约去分子和分母中的 $(x-1)$，得到 $\lim _{x\rightarrow 1}(x+1){e}^{\dfrac {1}{x-1}}$。
步骤 3：分析极限
当 $x\rightarrow 1$ 时，$(x+1)$ 的极限为 $2$，而 ${e}^{\dfrac {1}{x-1}}$ 的极限不存在，因为当 $x$ 从左侧接近 $1$ 时，$\dfrac {1}{x-1}$ 趋向于负无穷大，${e}^{\dfrac {1}{x-1}}$ 趋向于 $0$；当 $x$ 从右侧接近 $1$ 时，$\dfrac {1}{x-1}$ 趋向于正无穷大，${e}^{\dfrac {1}{x-1}}$ 趋向于正无穷大。因此，整个表达式的极限不存在。
分子 ${x}^{2}-1$ 可以分解为 $(x-1)(x+1)$，因此原式可以写为 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(x-1)(x+1)}{x-1}{e}^{\dfrac {1}{x-1}}$。
步骤 2：约分
由于 $x\rightarrow 1$ 时，$x-1$ 不为零，可以约去分子和分母中的 $(x-1)$，得到 $\lim _{x\rightarrow 1}(x+1){e}^{\dfrac {1}{x-1}}$。
步骤 3：分析极限
当 $x\rightarrow 1$ 时，$(x+1)$ 的极限为 $2$，而 ${e}^{\dfrac {1}{x-1}}$ 的极限不存在，因为当 $x$ 从左侧接近 $1$ 时，$\dfrac {1}{x-1}$ 趋向于负无穷大，${e}^{\dfrac {1}{x-1}}$ 趋向于 $0$；当 $x$ 从右侧接近 $1$ 时，$\dfrac {1}{x-1}$ 趋向于正无穷大，${e}^{\dfrac {1}{x-1}}$ 趋向于正无穷大。因此，整个表达式的极限不存在。