求下列不定积分 int dfrac (dx)(2sin x-cos x+5)

步骤 1：变量替换
令 $u=\tan \dfrac {x}{2}$，则有 $\sin x = \dfrac{2u}{1+u^2}$ 和 $\cos x = \dfrac{1-u^2}{1+u^2}$。同时，$dx = \dfrac{2}{1+u^2}du$。
步骤 2：代入并化简
将 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的表达式代入原积分中，得到
$$\int \dfrac {dx}{2\sin x-\cos x+5} = \int \dfrac{\dfrac{2}{1+u^2}du}{2\cdot\dfrac{2u}{1+u^2}-\dfrac{1-u^2}{1+u^2}+5}$$
化简后得到
$$\int \dfrac{2du}{4u-(1-u^2)+5(1+u^2)} = \int \dfrac{2du}{3u^2+2u+4}$$
步骤 3：积分计算
将上式化简为
$$\int \dfrac{2du}{3u^2+2u+4} = \dfrac{2}{3}\int \dfrac{du}{u^2+\dfrac{2}{3}u+\dfrac{4}{3}}$$
完成平方差的配方，得到
$$\dfrac{2}{3}\int \dfrac{du}{(u+\dfrac{1}{3})^2+(\dfrac{\sqrt{5}}{3})^2}$$
步骤 4：积分结果
利用积分公式 $\int \dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac{1}{a}\arctan(\dfrac{x}{a})+C$，得到
$$\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{5}}{3}}\arctan(\dfrac{u+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{\sqrt{5}}{3}})+C = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\arctan(\dfrac{3u+1}{\sqrt{5}})+C$$
最后，将 $u=\tan \dfrac {x}{2}$ 代回，得到最终答案。