工程力学复习题的答案!如图所示,滑轮质量为2m,半径为R,滑轮受一不变转矩M作用绕质心轴O转动,一绕绳在滑轮上,另一端系一质量为m的重物A,忽略绳的质量,试求重物A上升的加速度、绳的拉力、轴O处的约束力.= =听说是很久的题目了,求工科帝!

本题主要考查刚体刚体的转动定律、牛顿第二定律以及动能定理的应用，解题思路是先通过动能定理建立系统能量关系，再对时间求导得到加速度，再分别对重物和滑轮进行受力分析，进而求出绳的拉力和轴$O$处的约束力。

1. 根据动能定理建立能量关系：
   • 设重物$A$上升了$h$高度时，其速度为$v$，滑轮转速为$\omega$。
   • 转矩$M$做的功$W_M = M\cdot\varphi$，其中$\varphi$为滑轮转过的总角度，由于$h = R\varphi R$，所以$\varphi=\frac{h}{R}$，则$W_M = M\cdot\frac{h}{R}$。
   • 重物$A$的动能$E_{kA}=\frac{1}{2}m_1v^2$，其中$m_1 = m$；重物$A$的重力势能增加量$\Delta E_{p=m_1gh$；滑轮的转动动能$E_{kO}=\frac{1}{2}I\omega^2$，其中滑轮绕$O$点的转动惯量$I = \frac{1}{2}m_2R^2$，$m_2 = 2m$，且$\omega=\frac{v}{R}$，所以$E_{kO}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}m_2R^2\cdot(\frac{v}{R})^2$。
   • 根据动能定理$W_M=\Delta E_{kA}+\Delta E_{pA}+E_{kO}$，可得$M\cdot\frac{h}{R}=\frac{1}{2}m_1v^2 + m_1gh+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}m_2R^2\cdot(\frac{v}{R})^2$，将$m_1 = m$，$m_2 = 2m$代入可得：$M\cdot\frac{h}{R}=\frac{12mv^2+mg h+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot2mR^2\cdot(\frac{v}{R})^2=\frac{1}{2}mv^2+mg h+\frac{1}{2}mv^2=mv^2 + mg h$。
2. 对能量方程求导得到加速度：
   • 对$M\cdot\frac{h}{R}=\frac{1}{2}mv^2+mg h+\frac{1}{2}mv^2$两边同时对时间$t$求导。
   • 根据求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，$(\frac导导公式\((x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，$\frac{d}{dt}(M\cdot\frac{h}{R})=\frac{M}{R}\cdot\frac{dh}{dt}$，$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2)=m v\cdot\frac{dv}{dt}$，$\frac{d}{dt}(mg h)=mg\cdot\frac{dh}{dt}$，$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2)=m v\cdot\frac{dv}{dt}$。
   • 因为$\frac{dh}{dt}=v$，$\frac{dv}{dt}=a$（$为\(A$的加速度），所以$\frac{M}{R}\cdot v=mv\cdot a+mg\cdot v+mv\cdot a$。
   • 由于$v\neq0$（在运动过程中），两边同时除以$v$可得：$\frac{M}{R}=2ma + mg$。
   • 移项求解加速度$a$：$2ma=\frac{M}{R}-mg$，则$a=\frac{1}{2}(\frac{M}{mR}-g)$。
3. 求绳的拉力$F$：
   • 对重物$A$进行受力分析，重物$受重力\(mg$和绳的拉力$F$，根据牛顿第二定律$F - mg=ma\}\}$U)。
   • 将$a=\frac{1}{2}(\frac{M}{mR}-g)$代入可得：$=mg + m\cdot\frac{1}{2}(\frac{M}{mR}-g)=mg+\frac{M}{2R}-\frac{1}{2mg=\frac{M}{2R}+\frac{1}{2}mg=\frac{1}{2}(\frac{M}{R}+mg)$。
4. 求轴$O$处的约束力：
   • 对滑轮进行受力分析，在水平方向上，没有其他力在水平方向无分量，所以轴$O$处的水平约束力$F_{x}=0$。
   • 在竖直方向上，滑轮受重力$2mg$、绳的拉力$F$和轴$O$处的竖直约束力$F_y$，根据平衡条件$F_y=F + 2mg$。
   • 将$F=\frac{1}{2}(\frac{M}{R}+mg)$代入可得：$F_y=\frac{1}{2}(\frac{M}{R}+mg)+2mg=\frac{1}{2}(\frac{M}{R}+5mg)$。