题目
例4 设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) x,0leqslant xlt 1 2-x,1leqslant xleqslant 2 0, .-|||-求X的数学期望E(X).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区间
根据题目中给出的概率密度函数$f(x)$，我们可以看到它在$0\leqslant x\lt 1$和$1\leqslant x\leqslant 2$区间内有定义，而在其他区间内$f(x)=0$。因此，我们需要在这两个区间内进行积分。
步骤 2：计算积分
根据数学期望的定义，$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$，我们可以将积分分为两部分，分别在$0\leqslant x\lt 1$和$1\leqslant x\leqslant 2$区间内进行计算。
- 在$0\leqslant x\lt 1$区间内，$f(x)=x$，因此积分变为${\int }_{0}^{1}x\cdot xdx={\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx$。
- 在$1\leqslant x\leqslant 2$区间内，$f(x)=2-x$，因此积分变为${\int }_{1}^{2}x(2-x)dx={\int }_{1}^{2}(2x-{x}^{2})dx$。
步骤 3：计算数学期望
将步骤2中计算出的两个积分相加，得到$E(X)={\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx+{\int }_{1}^{2}(2x-{x}^{2})dx$。计算这两个积分，得到$E(X)=\frac{1}{3}x^{3}|_{0}^{1}+(\frac{2}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3})|_{1}^{2}=1$。
根据题目中给出的概率密度函数$f(x)$，我们可以看到它在$0\leqslant x\lt 1$和$1\leqslant x\leqslant 2$区间内有定义，而在其他区间内$f(x)=0$。因此，我们需要在这两个区间内进行积分。
步骤 2：计算积分
根据数学期望的定义，$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$，我们可以将积分分为两部分，分别在$0\leqslant x\lt 1$和$1\leqslant x\leqslant 2$区间内进行计算。
- 在$0\leqslant x\lt 1$区间内，$f(x)=x$，因此积分变为${\int }_{0}^{1}x\cdot xdx={\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx$。
- 在$1\leqslant x\leqslant 2$区间内，$f(x)=2-x$，因此积分变为${\int }_{1}^{2}x(2-x)dx={\int }_{1}^{2}(2x-{x}^{2})dx$。
步骤 3：计算数学期望
将步骤2中计算出的两个积分相加，得到$E(X)={\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx+{\int }_{1}^{2}(2x-{x}^{2})dx$。计算这两个积分，得到$E(X)=\frac{1}{3}x^{3}|_{0}^{1}+(\frac{2}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3})|_{1}^{2}=1$。