题目

22.设随机变量(X,Y)在区域 = (x,y)|0lt xlt 1,0lt ylt x 上服从均匀分布,求X与-|||-Y的相关系数ρ.

题目解答

答案

解析

本题考查二维均匀分布、边缘概率密度、数学期望、方差以及相关系数的计算。解题思路如下：

  1. 首先根据二维均匀分布的性质求出联合概率密度函数 $f(x,y)$。
  2. 然后通过对联合概率密度函数关于 $y$ 积分求出 $X$ 的边缘概率密度函数 $f_X(x)$，关于 $x$ 积分求出 $Y$ 的边缘概率密度函数 $f_Y(y)$。
  3. 接着利用数学期望的定义分别计算 $E(X)$、$E(X^2)$、$E(Y)$、$E(Y^2)$ 和 $E(XY)$。
  4. 再根据方差的计算公式 $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ 和 $D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$ 计算 $D(X)$ 和 $D(Y)$。
  5. 最后根据协方差的计算公式 $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ 和相关系数的计算公式 $\rho=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$ 计算相关系数 $\rho$。

详细计算过程

  1. 求联合概率密度函数 $f(x,y)$
    已知随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D=\{ (x,y)|0\lt x\lt 1,0\lt y\lt x\}$ 上服从均匀分布，区域 $D$ 的面积 $S_D=\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}$。
    根据二维均匀分布的概率密度函数公式 $f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{S_D},&(x,y)\in D\\0,&(x,y)\notin D\end{cases}$，可得 $f(x,y)=\begin{cases}2,&0\lt x\lt 1,0\lt y\lt x\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
  2. 求边缘概率密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$
    • $X$ 的边缘概率密度函数 $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$，当 $0\lt x\lt 1$ 时，$f_X(x)=\int_{0}^{x}2dy=2y\big|_{0}^{x}=2x$；当 $x\notin(0,1)$ 时，$f_X(x)=0$，即 $f_X(x)=\begin{cases}2x,&0\lt x\lt 1\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
    • $Y$ 的边缘概率密度函数 $f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$，当 $0\lt y\lt 1$ 时，$f_Y(y)=\int_{y}^{1}2dx=2x\big|_{y}^{1}=2(1 - y)$；当 $y\notin(0,1)$ 时，$f_Y(y)=0$，即 $f_Y(y)=\begin{cases}2(1 - y),&0\lt y\lt 1\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
  3. 计算数学期望 $E(X)$、$E(X^2)$、$E(Y)$、$E(Y^2)$ 和 $E(XY)$
    • $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot 2xdx=2\int_{0}^{1}x^2dx=2\times\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{1}=\frac{2}{3}$。
    • $E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f_X(x)dx=\int_{0}^{1}x^2\cdot 2xdx=2\int_{0}^{1}x^3dx=2\times\frac{1}{4}x^4\big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}$。
    • $E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_Y(y)dy=\int_{0}^{1}y\cdot 2(1 - y)dy=2\int_{0}^{1}(y - y^2)dy=2(\frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{3}y^3)\big|_{0}^{1}=2\times(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})=\frac{1}{3}$。
    • $E(Y^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}y^2f_Y(y)dy=\int_{0}^{1}y^2\cdot 2(1 - y)dy=2\int_{0}^{1}(y^2 - y^3)dy=2(\frac{1}{3}y^3 - \frac{1}{4}y^4)\big|_{0}^{1}=2\times(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})=\frac{1}{6}$。
    • $E(XY)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)dxdy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}2xydydx=\int_{0}^{1}2x\cdot\frac{1}{2}y^2\big|_{0}^{x}dx=\int_{0}^{1}x^3dx=\frac{1}{4}x^4\big|_{0}^{1}=\frac{1}{4}$。
  4. 计算方差 $D(X)$ 和 $D(Y)$
    • $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{1}{2}-(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{9 - 8}{18}=\frac{1}{18}$。
    • $D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=\frac{1}{6}-(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{3 - 2}{18}=\frac{1}{18}$。
  5. 计算协方差 $Cov(X,Y)$ 和相关系数 $\rho$
    • $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{1}{4}-\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{9 - 8}{36}=\frac{1}{36}$。
    • $\rho=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{\frac{1}{36}}{\sqrt{\frac{1}{18}\times\frac{1}{18}}}=\frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{18}}=\frac{1}{2}$。