3.(10分)一平面简谐波沿Ox轴正方向传播,波的表达式为 =Acos 2pi (vt-x/lambda ), 而-|||-另一平面简谐波沿Ox轴负方向传播,波的表达式为 =2Acos 2pi (vt+x/lambda ) 求:-|||-(1) =lambda /4 处介质质点的合振动方程;-|||-(2) =lambda /4 处介质质点的速度表达式。

本题主要考察平面简谐波的叠加以及合振动方程、速度表达式的求解，关键在于理解波的表达式中各量的物理意义，以及同频率简谐振动的合成规律。

(1) 求$x=\lambda/4$处介质质点的合振动方程

步骤1：代入$x=\lambda/4$得到两列波的振动方程

• 沿$Ox$轴正方向传播的波（波1）：
  $y_1 = A\cos\left[2\pi\left(vt - \frac{x}{\lambda}\right)\right]$，代入$x=\lambda/4$：
  $y_1 = A\cos\left(2\pi vt - 2\pi\cdot\frac{\lambda/4}{\lambda}\right) = A\cos\left(2\pi vt - \frac{\pi}{2}\right)$。

• 沿$Ox$轴负方向传播的波（波2）：
  $y_2 = 2A\cos\left[2\pi\left(vt + \frac{x}{\lambda}\right)\right]$，代入$x=\lambda/4$：
  $y_2 = 2A\cos\left(2\pi vt + 2\pi\cdot\frac{\lambda/4}{\lambda}\right) = 2A\cos\left(2\pi vt + \frac{\pi}{2}\right)$。

步骤2：判断两振动的相位关系并合成
两振动的角频率均为$\omega=2\pi v$（同频率），可采用旋转矢量法或相位差判断：

• $y_1$的初相$\phi_1=-\frac{\pi}{2}$，$y_2$的初相$\phi_2=+\frac{\pi}{2}$，相位差$\Delta\phi=\phi_2-\phi_1=\pi$，即反相。

同频率反相振动的合振幅：$A_{\text{合}}=|A_2 - A_1|=|2A - A|=A$。
合振动的初相：取振幅大的振动（$y_2$）的初相，即$\phi_{\text{合}}=\frac{\pi}{2}$。

故合振动方程：$y = A\cos\left(2\pi vt + \frac{\pi}{2}\right)$。

(2) 求$x=\lambda/4$处介质质点的速度表达式

速度是位移对时间的导数：
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left[A\cos\left(2\pi vt + \frac{\pi}{2}\right)\right]$。

利用导数公式$\frac{d}{dt}\cos(\omega t + \phi)=-\omega\sin(\omega t + \phi)$，其中$\omega=2\pi v$：
$v = -A\cdot2\pi v\cdot\sin\left(2\pi vt + \frac{\pi}{2}\right)$。

化简：$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)=\cos\theta$，故：
$v = -2\pi vA\cos(2\pi vt) = 2\pi vA\cos(2\pi vt + \pi)$（或保留$-2\pi vA\cos(2\pi vt)$，两种形式等价）。