题目
设f(x,y)是连续函数,则 (int )_(0)^4dx(int )_(0)^2sqrt (x)f(x,y)dy=() ;-|||-(A) (int )_(0)^4dy(int )_(dfrac {1)(4)(y)^2}f(x,y)dx (B) (int )_(0)^4dy(int )_(-y)^dfrac (1{4)(y)^2}f(x,y)dx-|||-(C) (int )_(0)^4dy(int )_(dfrac {1)(4)}^1f(x,y)dx (D) (int )_(4)^0dy(int )_(dfrac {1)(4)(y)^2}f(x,y)dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
原积分区域由 $0 \leq x \leq 4$ 和 $0 \leq y \leq 2\sqrt{x}$ 确定。这意味着 $y$ 的范围是 $0$ 到 $2\sqrt{x}$，而 $x$ 的范围是 $0$ 到 $4$。
步骤 2：转换积分顺序
为了将积分顺序从 $dx dy$ 转换为 $dy dx$，我们需要重新确定积分区域。由于 $y$ 的上限是 $2\sqrt{x}$，可以解出 $x = \frac{1}{4}y^2$。因此，$x$ 的范围是 $0$ 到 $\frac{1}{4}y^2$，而 $y$ 的范围是 $0$ 到 $4$。
步骤 3：写出转换后的积分
根据步骤 2 的分析，转换后的积分形式为 ${\int }_{0}^{4}dy{\int }_{0}^{\dfrac {1}{4}{y}^{2}}f(x,y)dx$。这与选项 (A) 相符。
原积分区域由 $0 \leq x \leq 4$ 和 $0 \leq y \leq 2\sqrt{x}$ 确定。这意味着 $y$ 的范围是 $0$ 到 $2\sqrt{x}$，而 $x$ 的范围是 $0$ 到 $4$。
步骤 2：转换积分顺序
为了将积分顺序从 $dx dy$ 转换为 $dy dx$，我们需要重新确定积分区域。由于 $y$ 的上限是 $2\sqrt{x}$，可以解出 $x = \frac{1}{4}y^2$。因此，$x$ 的范围是 $0$ 到 $\frac{1}{4}y^2$，而 $y$ 的范围是 $0$ 到 $4$。
步骤 3：写出转换后的积分
根据步骤 2 的分析，转换后的积分形式为 ${\int }_{0}^{4}dy{\int }_{0}^{\dfrac {1}{4}{y}^{2}}f(x,y)dx$。这与选项 (A) 相符。