60分。计算题必须写出必要的计算过-|||-16.求极限 lim _(xarrow 0)(dfrac (1)({x)^2}-dfrac (1)(xtan x)) 7分)

步骤 1：化简表达式
首先，我们化简给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{{x}^{2}}-\dfrac {1}{x\tan x})$。将两个分数合并为一个分数，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\left(\dfrac {1}{{x}^{2}}-\dfrac {1}{x\tan x}\right) = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x - x}{{x}^{2}\tan x}$$

步骤 2：使用等价无穷小替换
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\tan x$ 可以用 $x$ 替换，因为 $\tan x$ 和 $x$ 在 $x\rightarrow 0$ 时是等价无穷小。因此，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x - x}{{x}^{2}\tan x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x - x}{{x}^{3}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {0}{{x}^{3}}$$
这一步骤看起来会得到一个不确定的形式，但实际上我们需要更精确地处理 $\tan x$ 的泰勒展开。

步骤 3：使用泰勒展开
为了更精确地处理极限，我们使用 $\tan x$ 的泰勒展开式，$\tan x = x + \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3)$，其中 $o(x^3)$ 表示比 $x^3$ 更高阶的无穷小。因此，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x - x}{{x}^{2}\tan x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x + \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3) - x}{{x}^{2}(x + \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3))}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3)}{{x}^{3} + \dfrac{1}{3}x^5 + o(x^5)}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac{1}{3}x^3}{x^3} = \dfrac{1}{3}$$