题目
16.若随机变量X_(1),X_(2),...,X_(n),...相互独立并服从同一分布，且E(X_(i))=mu，D(X_(i))=sigma^2 (i=1,2,...,n)，则(frac(1)/(n)sum_{i=1)^nX_(i)-mu}(sqrt((sigma)/(n)))近似服从N(0,1)(). square √ square ×
16.若随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$相互独立并服从同一分布，且$E(X_{i})=\mu$，$D(X_{i})=\sigma^{2} (i=1,2,\cdots,n)$，则$\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma}{n}}}$近似服从N(0,1)().
$\square$ √
$\square$ ×
题目解答
答案
题目考察中心极限定理的应用。根据题意，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且服从同一分布，满足 $E(X_i) = \mu$，$D(X_i) = \sigma^2$。令 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，则 $E(\bar{X}) = \mu$，$D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。
根据中心极限定理，当 $n$ 充分大时，$\bar{X}$ 近似服从正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
将 $\bar{X}$ 标准化得：
\[
\frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \sim N(0,1)
\]
然而，题目中给出的表达式为：
\[
\frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{\sigma}{n}}}
\]
显然，分母应为 $\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，而非 $\sqrt{\frac{\sigma}{n}}$。因此，题目中的表达式不符合标准正态分布的要求。
综上，题目中的结论是错误的。
答案：×