9、函数u=sinxsinysinz满足x+y+z=(pi)/(2)(x>0,y>0,z>0)的条件极值是（）A. 1;B. 0;C. (1)/(6);D. (1)/(8).

本题考查条件极值的求解，解题思路是利用拉格朗日乘数法来求解函数在给定约束条件下的极值。

步骤一：构造拉格朗日函数

设$F(x,y,z,\lambda)=\sin x\sin y\sin z+\lambda(x + y + z-\frac{\pi}{2})$。

步骤二：求偏导数并令其为$0$

分别对$x$、$y$、$z$、$\lambda$求偏导数：

• 对$x$求偏导数：
  $F_{x}=\cos x\sin y\sin z+\lambda = 0$ ①
• 对$y$求偏导数：
  $F_{y}=\sin x\cos y\sin z+\lambda = 0$ ②
• 对$z$求偏导数：
  $F_{z}=\sin x\sin y\cos z+\lambda = 0$ ③
• 对$\lambda$求偏导数：
  $F_{\lambda}=x + y + z-\frac{\pi}{2}= 0$ ④

步骤三：求解方程组

由①$-$②可得：
$\cos x\sin y\sin z-\sin x\cos y\sin z = 0$
提取公因式$\sin z$得：
$\sin z(\cos x\sin y-\sin x\cos y)=0$
根据两角差的正弦公式$\sin(A - B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$，上式可化为：
$\sin z\sin(y - x)=0$
因为$x\gt0,y\gt0,z\gt0$且$x + y + z=\frac{\pi}{2}$，所以$\sin z\neq0$，则$\sin(y - x)=0$，即$y = x$。
同理，由②$-$③可得$z = y$。

步骤四：结合约束条件求出$x$、$y$、$z$的值

将$y = x$，$z = y$代入④式$x + y + z-\frac{\pi}{2}= 0$，可得：
$x + x + x=\frac{\pi}{2}$
$3x=\frac{\pi}{2}$
解得$x = y = z=\frac{\pi}{6}$。

步骤五：求出函数的极值

将$x = y = z=\frac{\pi}{6}$代入函数$u=\sin x\sin y\sin z$，可得：
$u=\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{6}$
因为$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，所以$u=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$。