(6) C是任意常数，则微分方程y^prime=3y^(2)/(3)的一个特解是（）.A. y=(x+2)^3B. y=x^3+1C. y=(x+C.)^3D. y=C(x+1)^3

考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，以及特解与通解的区别。

解题核心思路：

1. 分离变量：将方程改写为关于$y$和$x$的分离形式，分别积分求解通解。
2. 特解与通解的辨析：通解包含任意常数，而特解是通解中确定常数后的具体解。
3. 选项验证：将选项代入原方程，判断是否满足。

破题关键点：

• 分离变量法是解题的核心步骤，需正确进行积分运算。
• 特解的定义要求常数被具体确定，而非保留任意常数。

步骤1：分离变量
原方程 $y' = 3y^{\frac{2}{3}}$ 可改写为：
$y^{-\frac{2}{3}} \, dy = 3 \, dx$

步骤2：积分求通解
对两边分别积分：
$\int y^{-\frac{2}{3}} \, dy = \int 3 \, dx$
计算得：
$3y^{\frac{1}{3}} = 3x + C \quad \implies \quad y = (x + C)^3$
其中$C$为任意常数，即通解为 $y = (x + C)^3$。

步骤3：分析选项

• 选项A：$y = (x + 2)^3$ 对应$C = 2$，是通解中的特例，满足方程。
• 选项B：$y = x^3 + 1$，代入后$y' = 3x^2$，而右边为$3(x^3 + 1)^{\frac{2}{3}}$，两者不相等。
• 选项C：$y = (x + C)^3$ 是通解，而非特解。
• 选项D：$y = C(x + 1)^3$，代入后$y' = 3C(x + 1)^2$，右边为$3[C(x + 1)^3]^{\frac{2}{3}} = 3C^{\frac{2}{3}}(x + 1)^2$，仅当$C = 1$时成立，但题目中$C$为任意常数，故不满足。