设 = 1,2,3,4,5,6,8,8,10,12,16,18 ≤"为A上的整除关系,-|||-设 = x|xin Acap 1lt xlt 5 . 画出此为系的哈斯图,并求出B的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确-|||-界和下确界。

考查要点：本题主要考查偏序集的哈斯图绘制及元素的极值性质（极大元、极小元等）的判断，需结合整除关系理解各概念。

解题核心思路：

1. 确定集合B：根据条件筛选出B的元素。
2. 绘制哈斯图：基于整除关系的覆盖关系构建。
3. 分析极值性质：通过哈斯图判断各元素的极值属性，注意区分极大元/极小元与最大元/最小元的差异。

破题关键点：

• 整除关系的传递性：若$a$整除$b$，$b$整除$c$，则$a$整除$c$。
• 极大元/极小元：无其他元素在上方/下方的节点。
• 最大元/最小元：需能被/能整除所有元素，可能存在或不存在。

1. 确定集合B

根据条件$B = \{x \mid x \in A \text{且} 1 < x < 5\}$，筛选得：
$B = \{2, 3, 4\}$

2. 绘制哈斯图

• 覆盖关系：
  • $2$整除$4$，故$2$与$4$有边。
  • $3$无覆盖关系，独立。
• 哈斯图结构：

    4
   ↑
    2
    3

3. 分析极值性质

• 极大元：无元素在上方，为$3$和$4$。
• 极小元：无元素在下方，为$2$和$3$。
• 最大元：需能被所有元素整除，但$4$不能整除$3$，故不存在。
• 最小元：需能整除所有元素，但$2$不能整除$3$，故不存在。
• 上界：能被所有元素整除的最小元素为$12$（在$A$中）。
• 下界：能整除所有元素的最大元素为$1$（在$A$中）。
• 上确界：最小的上界，即$12$。
• 下确界：最大的下界，即$1$。