int_(-1)^1 (x cos x)/(1 + x^2) dx = _____

令 $ f(x) = \frac{x \cos x}{1 + x^2} $，分析其奇偶性： - 计算 $ f(-x) $： \[ f(-x) = \frac{(-x)\cos(-x)}{1 + (-x)^2} = \frac{-x \cos x}{1 + x^2} = -f(x) \] 故 $ f(x) $ 是奇函数。 - 积分区间 $[-1, 1]$ 关于原点对称。 - 应用奇函数在对称区间上的积分性质： \[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \quad (\text{当 } f(x) \text{ 为奇函数}) \] 因此， \[ \int_{-1}^{1} \frac{x \cos x}{1 + x^2} \, dx = 0 \]