题目
【题目】求下列平面方程(1)通过点 M_1(0,0,1) 和 M_2(3,0,0) 且与坐标面xOy成60°角的平面;(2)过z轴并且与平面 2x+y-√5z-7=0 成60°角的平面
【题目】求下列平面方程(1)通过点 M_1(0,0,1) 和 M_2(3,0,0) 且与坐标面xOy成60°角的平面;(2)过z轴并且与平面 2x+y-√5z-7=0 成60°角的平面
题目解答
答案
【解析】(1) x±√(26)y+3z-3=0 ;(2)x+3y=0或3x-y=0.
解析
(1) 步骤 1：确定平面方程的一般形式
设所求平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 A, B, C, D 为待定系数。
步骤 2：利用已知点确定方程
由于平面通过点 M_1(0,0,1) 和 M_2(3,0,0)，代入方程得：
C + D = 0
3A + D = 0
步骤 3：利用平面与坐标面xOy的夹角确定方程
平面与坐标面xOy的法向量为 (A, B, C)，坐标面xOy的法向量为 (0, 0, 1)。两法向量的夹角为60°，则有：
cos60° = |C| / √(A^2 + B^2 + C^2)
步骤 4：求解方程组
联立以上方程，解得 A = ±√(26), B = 0, C = -3, D = 3。
设所求平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 A, B, C, D 为待定系数。
步骤 2：利用已知点确定方程
由于平面通过点 M_1(0,0,1) 和 M_2(3,0,0)，代入方程得：
C + D = 0
3A + D = 0
步骤 3：利用平面与坐标面xOy的夹角确定方程
平面与坐标面xOy的法向量为 (A, B, C)，坐标面xOy的法向量为 (0, 0, 1)。两法向量的夹角为60°，则有：
cos60° = |C| / √(A^2 + B^2 + C^2)
步骤 4：求解方程组
联立以上方程，解得 A = ±√(26), B = 0, C = -3, D = 3。